ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（１２５）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

高気圧が太平洋上を移動していて、今夜には関東の南海上に達するようです。そのため、南風が吹き込み、明日からしばらく２０℃超の暖かい日が続きます。


さて、今回は２００７年ジュニア数学オリンピック予選に出題された場合の整式の問題を取り上げます。

問題は、
「実数を係数とする３次の３変数多項式ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）であって、次の条件を満たすものを１つ求めよ。

●ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｘ は ｙ＋ｚ で割り切れる。
●ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｙ は ｚ＋ｘ で割り切れる。
●ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｚ は ｘ＋ｙ で割り切れる。

ただし、多項式Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が多項式Ｑ（ｘ，ｙ，ｚ）で割り切れるとは、Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｑ（ｘ，ｙ，ｚ）Ｒ（ｘ，ｙ，ｚ）となる多項式Ｒ（ｘ，ｙ，ｚ）が存在することをいう。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

与えられた３つの条件から、
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｘ＝（ｙ＋ｚ）ｑ1（ｘ，ｙ，ｚ）　　　　　　　　　　　　　（１）
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｙ＝（ｚ＋ｘ）ｑ2（ｘ，ｙ，ｚ）　　　　　　　　　　　　　（２）
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｚ＝（ｘ＋ｙ）ｑ3（ｘ，ｙ，ｚ）　　　　　　　　　　　　　（３）
が成り立ちます。

ここで、（１）の両辺に ｙ＋ｚ、（２）の両辺に ｚ＋ｘ、（３）の両辺に ｘ＋ｙ を加えると、（１）、（２）、（３）はそれぞれ、
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｘ＋ｙ＋ｚ＝（ｙ＋ｚ）ｑ1（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｙ＋ｚ
　　　　　　　　　　　　　＝（ｙ＋ｚ）（ｑ1（ｘ，ｙ，ｚ）＋１）　　　　　（４）

ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｘ＋ｙ＋ｚ＝（ｚ＋ｘ）ｑ2（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｚ＋ｘ
　　　　　　　　　　　　　＝（ｚ＋ｘ）（ｑ2（ｘ，ｙ，ｚ）＋１）　　　　　（５）

ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｘ＋ｙ＋ｚ＝（ｘ＋ｙ）ｑ3（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｘ＋ｙ
　　　　　　　　　　　　　＝（ｘ＋ｙ）（ｑ3（ｘ，ｙ，ｚ）＋１）　　　　　（６）
になります。

これらの（４）、（５）、（６）は、ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｘ＋ｙ＋ｚ がそれぞれ ｙ＋ｚ、ｚ＋ｘ、ｘ＋ｙ を因数にもつことを表しているので、
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｘ＋ｙ＋ｚ＝（ｘ＋ｙ）（ｙ＋ｚ）（ｚ＋ｘ）ｑ0（ｘ，ｙ，ｚ）
になります。

一方、ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）は３次式なので、ｑ0（ｘ，ｙ，ｚ）は定数（≠０）です。

ここで、ｑ0（ｘ，ｙ，ｚ）＝１とすると、
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｘ＋ｙ＋ｚ＝（ｘ＋ｙ）（ｙ＋ｚ）（ｚ＋ｘ）
から、
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｘ＋ｙ）（ｙ＋ｚ）（ｚ＋ｘ）－（ｘ＋ｙ＋ｚ）
で、これが与えられた条件を満たすｆ（ｘ，ｙ，ｚ）の１つになります。


簡単な問題です。