日本数学オリンピックの簡単な問題（１１８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日の風も治まり、過ごしやすい春の陽気になりました。明日から連日２０℃超の日が続くようなので、朝、近所のスーパーで発泡酒を買って冷蔵庫に入れてきました。準備万端です。

さて、今回は２００４年日本数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「りんごの１０個入った箱と６個入った箱がそれぞれいくつかある。りんごが合計で３８個入っているとき、箱は合わせていくつあるか。」
です。

簡単な中学入試問題のようです。

りんごが１０個入った箱をｘ個、６個入った箱をｙ個として立式すると、
１０ｘ＋６ｙ＝３８
になり、これを２で割って、
５ｘ＋３ｙ＝１９　　　　　（１）
として、この１次不定方程式の非負整数解から２つの箱の個数の合計ｘ＋ｙを求めることになります。

（１）を
５ｘ＝１９－３ｙ　　　　　（２）
と変形すると、左辺は５の倍数なので、右辺も５の倍数になります。

このとき、ｘ，ｙ≧０なので、０≦ｘ≦３、０≦ｙ≦６で、（２）の右辺が５の倍数になるのはｙ＝３のときだけです。

そこで（２）の右辺にｙ＝３を代入すると、
５ｘ＝１９－３×３＝１０
になり、
ｘ＝２
です。

したがって、
ｘ＋ｙ＝２＋３＝５
から、２つの箱の個数の合計は ５箱 で、これが答えです。

他の解き方として、（１）の両辺を３で割った余りを調べる方法もあります。

（１）の左辺を３で割ると、その余りは５ｘを３で割った余りになります。

このとき、０≦ｘ≦３なので、５ｘを３で割った余りは、
ｘ＝０のとき、０
ｘ＝１のとき、２
ｘ＝２のとき　１
ｘ＝３のとき　０
です。

一方、（１）の右辺を３で割った余りは１ですから、（１）の左辺と右辺を３で割った余りが等しくなるのはｘ＝２のときです。

あとは、（１）とｘ＝２からｙ＝３を計算して、ｘ＋ｙ＝５になります。


簡単な問題です。