ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（１２４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

教室に来る途中にある桜は、昨日で三分咲きといったところでした。明日から気温が段々上がり、暖かい日が続くので、直ぐに満開になりそうです。

さて、今回は２００６年ジュニア数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題を取り上げます。

問題は、
「１、２、・・・、１０の書かれたカードがそれぞれ赤、青の２枚ずつある。これらの２０枚のカードから３枚を選び出すとき、書かれた数の和が１６以下になるような選び方は何通りあるか。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

３枚のカードに書かれた数の和が４の場合、５の場合、・・・、１６の場合と場合分けして勘定してもＯＫですが、これは結構煩雑です。

そこで、各カードに書かれた数から、１から１０の整数の平均値５．５を減じた新たなカードを作って調べましょう。

新しいカードに書かれた数は、－４．５、－３．５、－２．５、－１．５、－０．５、０．５，１．５、２．５、３．５、４．５で、これらの１０個の数が書かれた赤と青の２０枚のカードから３枚を選び出すとき、書かれた数の和が－０．５以下になる選び方を求めることになります。

ここで、３枚のカードに書かれた数の和がＮ（０．５≦Ｎ≦１２．５）になる選び方をｎ通りとします。

このとき、カードに書かれた数の符号を反転させると、３枚のカードに書かれた数の和が－Ｎになります。

つまり、３枚のカードに書かれた数の和が－Ｎになる選び方はｎ通りで、Ｎになる選び方と等しくなります。

したがって、３枚のカードに書かれた数の和が－０．５以下になる選び方は、２０枚から３枚のカードを選ぶ場合の数の１/２になり、これは、
20Ｃ3×１/２＝２０×１９×１８/（３×２×１）×１/２
　　　　　　　 ＝５７０ （通り）
で、これが答えです。


楽しい問題です。