入試問題の攻略法 (さくら教育研究所)(SKREDU)

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7桁の数 1x540y4 が、72で割り切れるという。このような x,y を求めよ。

2015-01-31 | 日記

7桁の数 1x540y4 が、72で割り切れるという。このような x,y を求めよ。
8桁の数 25x22341 が、11で割り切れるという。このような x を求めよ。 
6桁の整数を前3桁と後3桁の数に分けて、その差が7で割り切れるときに、元の整数も7で割り切れることを示せ。

p が3以外の素数であるとき、p^2+2 は素数ではないことを示せ。
p^2-1 と p^2+1 がともに10で割り切れないような、5より大きな素数pは存在するか。
2から始まって順にn番目までの素数の積に1たした数は、平方数になりえないことを示せ。
連続する3個の自然数の立方の和は、つねに9の倍数であることを示せ。
x^2-2y^2=10 を満たす整数x,y は存在しないことを示せ。


8x+5y=1 を満たす整数解をすべて求めよ。

2015-01-31 | 日記

5x+11y=1 を満たす整数解をすべて求めよ。
5x-11y=1 を満たす整数解をすべて求めよ。
5x-12y=2 を満たす整数解をすべて求めよ。
6x-12y=5 を満たす整数解をすべて求めよ。
3x-12y=9 を満たす整数解をすべて求めよ。
45x+32y=4 を満たす整数解をすべて求めよ。
126x-11y=1 を満たす整数解をすべて求めよ。
126x-11y=-1 を満たす整数解をすべて求めよ。
8x+5y=1 を満たす整数解をすべて求めよ。
8x+5y=17 を満たす整数解をすべて求めよ。
37x+13y=1 を満たす整数解をすべて求めよ。


lim_[x→+∞] x/e^x を示せ。

2015-01-30 | 日記

lim_[n→+∞] n/2^n を示せ。
自然数nに対して、2^nの桁数をa(n)とおく。このとき、lim_[n→∞] a(n)/n を求めよ。
a(1)=2,a(n+1)=1/2(√a(n)+1)のとき、lim_[n→∞] a(n) を求めよ。
実数a(0<a<1)に対して、Σ[n=1,∞]_a^n×sin(90n) を求めよ。
Σ[n=1,∞]_n/(n+1) の収束・発散を求めよ。
Σ[n=1,∞]_1/√n の収束・発散を求めよ。
正の実数t、自然数nに対して、lim_[n→∞] (1+t/n)^(n-1)を求めよ。
y=x^a (x>0) を微分せよ。
y=a^x (a>0,a≠1) を微分せよ。
y=x^(1/x) (x>0) を微分せよ。
y=x・e^(-x^2) のグラフを描け。
関数f(x)=(x-e^(x-1))/(1+e^x) の極値を求めよ。
関数f(x)=x(x-1)(x-2)の区間t≦x≦t+1(t≧0)における最大値をg(t)とするとき、関数y=g(t)のグラフを描け。

2曲線 y=e^(x-1), y=log(x)+1 は、ある点において接線を共有することを示せ。
lim_[x→+∞] x/e^x を示せ。

∫[3,5] x(x-3)^2 dx を求めよ。
∫[1,2] 1/{x(x-3)} dx を求めよ。
∫[3,5] (sinx)^2 dx を求めよ。

α<βのとき、|e^β・sinβ-e^α・sinα|≦√2・e^β・(β-α)を示せ。
lim_[n→∞] 1/n・Σ[k=1,n-1]_k/√(3n^2+k^2) を求めよ。
y=[log(x)]^2(x>0) と y=log(x^2)(x>0) で囲まれる部分の面積を求めよ。
0≦a≦1である実数aに対して、関数F(a)をF(a)=∫[-a,1-a] |x(x-a)| dx によって定める。F(a)をaで表せ。
任意の自然数nに対して、0<∫[0,1] e^-x・x^n dx<1/(n+1) が成り立つことを示せ。

2つの曲線 y=sinx, y=sin2x によって 0≦x≦π の区間ではさまれる部分の面積を求めよ。

aは正の定数とする。 0≦x≦2π において、2曲線 y=sinx, y=a・cosx で囲まれる部分の面積を求めよ。

数直線上を動く点pの時刻tにおける速度がv(t)=3t^2-6tと表されている。
t=0~3までの間に点pが実際に動いた距離を求めよ。

動点pがy=log(cosx)上を速さ1で、x座標が常に増加するように動いている。
点pのx座標がπ/6になった瞬間における加速度ベクトルの大きさを求めよ。

xyz空間にa(2,2,0),b(-2,2,0),c(-2,-2,0),d(2,-2,0)を4頂点とする正方形がある。
半径1の球sの中心がこの正方形の周上を1周するとき、sが通過する部分の体積を求めよ。


5x-12y=2 を満たす整数解をすべて求めよ。

2015-01-28 | 日記

5x-12y=2 を満たす整数解をすべて求めよ。
6x-12y=5 を満たす整数解をすべて求めよ。
3x-12y=9 を満たす整数解をすべて求めよ。
45x+32y=4 を満たす整数解をすべて求めよ。


フェルマーの最終定理

2015-01-04 | 日記

1×3×5×7×9×11×13×…×95×97×99=3^n×m(m,n は自然数で、m は 3 で割り切れない)と表すと、n は?

800までの正の整数で、800と互いに素なものは何個あるか?

1998の約数の個数は? 約数の和は? ただし、正の整数aの約数には1とaを含めるものとする。

2桁の正の整数のうち、約数がちょうど10個あるものの中で、最大なものの約数の和は?

a,b,c,d が正の整数で ad-bc=1 が成り立つとき、a+c と b+d が互いに素であることを示せ。

13で割ると余りが2である自然数Aと13で割ると余りが8である自然数Bがある。
このとき、A-Bを13で割った余りは? A+Bを13で割った余りは? 
A^2-B^2を13で割った余りは? A^2+B^2を13で割った余りは?

1001^4+2002^4+3003^4+4004^4 を 5 で割った余りは? また、7^7001 を 48 で割った余りは?

3^121 の 1 の位の数字は?

どのような整数 n に対しても、n^2+n+1 は 5 で割り切れないことを示せ。

4けたの数abcdは、a-b+c-d が11の倍数のとき、11の倍数であることを示せ。

5で割ると2余り、7で割ると4余る200以下の自然数の和を求めよ。

6x+7y=9 を満たす整数 x,y の中で |x+y| を最小にする x,y を求めよ。

1/m+1/n=1/8(m≦n)を満たす自然数の組(m,n)をすべて求めよ。

7x+7y=4xy を満たす自然数の組(x,y)をすべて求めよ。

2つの条件 a^2+ab+b^2=7 . a>|b| を満たす整数の組(a,b)を求めよ。


|2x-3|=[x] を満たす x を求めよ。ただし、[x] は x を超えない最大の整数を表す。

xに関する不等式 x^2-px+1<0 が 3個以上4個以下の整数値の解xを持つような整数値pを求めよ。

x,y,z を負でない整数とする。x+2y+4z=8 を満たす (x,y,z) の組の個数を求めよ。

x,y,k を負でない整数とする。x+2y=4k を満たす (x,y) の組の個数を求めよ。

x,y,z,n を負でない整数とする。x+2y+4z=4n を満たす (x,y,z) の組の個数を求めよ。

nを自然数とする。2x+y≦5n , x-2y≦0 , x≧0 を同時に満たす整数の組(x,y)の個数を求めよ。

nを自然数とする。2^2≦x<2^3 , 0<y≦log_{2}(x) を同時に満たす整数の組(x,y)の個数を求めよ。

nを自然数とする。2^n≦x<2^(n+1) , 0<y≦log_{2}(x) を同時に満たす整数の組(x,y)の個数を求めよ。

nを自然数とする。2^1≦x<2^(n+1) , 0<y≦log_{2}(x) を同時に満たす整数の組(x,y)の個数を求めよ。


x,y,n を負でない整数とする。x/3+y≦n を満たす (x,y) の組の個数を求めよ。

(1)(3,5)(7,9,11,13)(15,17,19,21,23,25,27,29)(31,33,・・・ のとき、第n番目の群の、項数と初項を求めよ。

(2)(4,6)(8,10,12)(14,16,18,20)・・・ のとき、100は第何群の何番目の項であるか。


2014^10 の十の位の数字を求めよ。ただし必要ならば、7^9=40353607、7^10=282475249 を用いてもよい。

2014^10 の十万の位の数字を求めよ。ただし必要ならば、7^9=40353607、7^10=282475249 を用いてもよい。

2014^10 の上3桁の数字を求めよ。ただし必要ならば、7^9=40353607、7^10=282475249 を用いてもよい。


1,2,4,8,11,13,16,17,19,22,23,26,29,・・・について、第何項で初めて105を超えるか。初項から第100項までの和を求めよ。

自然数Nのすべての正の約数の和は、60であるという。このようなNは何個あるか。

N=100!とするとき、Nの末尾には0がいくつ並ぶか。
N=100!とするとき、Nの桁数は100桁より多く、200桁以下であることを示せ。
N=100!とするとき、Nと50^100のどちらが大きいか。

「nを2より大きい自然数とするとき、x^n+y^n=z^n を満たす整数解 x,y,z (xyz≠0) は存在しない。」
というのはフェルマーの最終定理として有名である。しかし多くの数学者の努力にも関わらず一般に証明されていなかった。
ところが1995年にこの定理の証明がワイルスの100ページを超える大論文と、テイラーとの共著論文により与えられた。
当然 x^3+y^3=z^3 を満たす整数解 x,y,z (xyz≠0) は存在しない。
フェルマーの定理を知らないものとして、次を証明せよ。
x,y,zを0でない整数とし、もしも等式 x^3+y^3=z^3 が成立するならば、x,y,z のうち少なくとも1つは3の倍数である。

実数x,y について、x+y,xy が共に偶数とする。自然数nに対して、x^n+y^n は偶数となることを示せ。整数以外の実数の組(x,y)の例を示せ。

5x-11y=1 を満たす自然数の組(x,y)のうち、xの値が0に近いほうから9番目の組を求めよ。
37x+23y=1 を満たす整数の組(x,y)のうち、yの値が40に最も近い組を求めよ。

nを正の整数とするとき、不等式 4|x|+3|y|≦12n を満たす組(x,y)のうち、xとyが共に整数である組の総数を求めよ。

 

2x^2-y^2=9 を満たす整数 x,y は3の倍数であることを証明せよ。
21x^2-10y^2=9 を満たす整数 x,y は存在しないことを証明せよ。

数列11,1001,100001,10000001,…について、この数列の項はみな11の倍数であることを証明せよ。
数列11,1001,100001,10000001,…について、この数列の中の7の倍数を一般的に表せ。

2次方程式 x^2+(m-11)x+m=0 が自然数の解を持つような整数mの値をすべて求めよ。

2次関数 f(x)=ax^2+bx がある。
ある整数kに対してf(k-1),f(k),f(k+1)が整数となるとき、すべての整数nに対してf(n)は整数であることを示せ。

関数 f(x)=(x^2+3x+9)/(x^2-3x+9) の値が整数となるxの値を求めよ。

方程式 [x]=[x^2/2] の解を求めよ。

10円、50円、100円の硬貨でちょうど400円を支払う場合の数を求めよ。
10円、50円、100円の硬貨でちょうど10000円を支払う場合の数を求めよ。

5x+4y≦200,x≧0,y≧0 を満たす整数の組(x,y)の個数を求めよ。

nを3以上の自然数とする。n!-1の1より大きい約数はnより大きいことを示せ。
nを3以上の自然数とする。n<p<n! を満たす素数pが存在することを示せ。

3で割ると2余る素数は無限に存在することを証明せよ。

素数pおよび自然数nに対し、N=1+p+p^2+…+p^nとおく。
(1) N<p^(n+1)を示せ。
(2) n以下の自然数kに対し、集合{1,2,…,N}に属する数の中、p^kの倍数であるものの個数m(k)を求めよ。
(3) p^mがN!の約数であるような最大の整数mを求めよ。


Σ[n=1,∞]_1/√n の収束・発散を求めよ。

2015-01-03 | 日記

lim_[n→+∞] n/2^n を示せ。
自然数nに対して、2^nの桁数をa(n)とおく。このとき、lim_[n→∞] a(n)/n を求めよ。
a(1)=2,a(n+1)=1/2(√a(n)+1)のとき、lim_[n→∞] a(n) を求めよ。
実数a(0<a<1)に対して、Σ[n=1,∞]_a^n×sin(90n) を求めよ。
Σ[n=1,∞]_n/(n+1) の収束・発散を求めよ。
Σ[n=1,∞]_1/√n の収束・発散を求めよ。
正の実数t、自然数nに対して、lim_[n→∞] (1+t/n)^(n-1)を求めよ。
y=x^a (x>0) を微分せよ。
y=a^x (a>0,a≠1) を微分せよ。
y=x^(1/x) (x>0) を微分せよ。
y=x・e^(-x^2) のグラフを描け。
2曲線 y=e^(x-1), y=log(x)+1 は、ある点において接線を共有することを示せ。
lim_[x→+∞] x/e^x を示せ。
α<βのとき、|e^β・sinβ-e^α・sinα|≦√2・e^β・(β-α)を示せ。
lim_[n→∞] 1/n・Σ[k=1,n-1]_k/√(3n^2+k^2) を求めよ。
y=[log(x)]^2(x>0) と y=log(x^2)(x>0) で囲まれる部分の面積を求めよ。
0≦a≦1である実数aに対して、関数F(a)をF(a)=∫[-a,1-a] |x(x-a)| dx によって定める。F(a)をaで表せ。
任意の自然数nに対して、0<∫[0,1] e^-x・x^n dx<1/(n+1) が成り立つことを示せ。

数直線上を動く点pの時刻tにおける速度がv(t)=3t^2-6tと表されている。
t=0~3までの間に点pが実際に動いた距離を求めよ。

動点pがy=log(cosx)上を速さ1で、x座標が常に増加するように動いている。
点pのx座標がπ/6になった瞬間における加速度ベクトルの大きさを求めよ。

xyz空間にa(2,2,0),b(-2,2,0),c(-2,-2,0),d(2,-2,0)を4頂点とする正方形がある。
半径1の球sの中心がこの正方形の周上を1周するとき、sが通過する部分の体積を求めよ。


入試問題の攻略法 (さくら教育研究所)

2015-01-02 | 日記