1×3×5×7×9×11×13×…×95×97×99＝3^n×m（m,n は自然数で、m は 3 で割り切れない）と表すと、n は？
800までの正の整数で、800と互いに素なものは何個あるか？
1998の約数の個数は？ 約数の和は？ ただし、正の整数ａの約数には1とａを含めるものとする。
2桁の正の整数のうち、約数がちょうど10個あるものの中で、最大なものの約数の和は？
a,b,c,d が正の整数で ad－bc＝1 が成り立つとき、a＋c と b＋d が互いに素であることを示せ。
13で割ると余りが2である自然数Ａと13で割ると余りが8である自然数Ｂがある。
このとき、Ａ－Ｂを13で割った余りは？ Ａ＋Ｂを13で割った余りは？
A^2－B^2を13で割った余りは？ A^2＋B^2を13で割った余りは？
1001^4＋2002^4＋3003^4＋4004^4 を 5 で割った余りは？ また、7^7001 を 48 で割った余りは？
3^121 の 1 の位の数字は？
どのような整数 n に対しても、n^2＋n＋1 は 5 で割り切れないことを示せ。
4けたの数abcdは、a－b＋c－d が11の倍数のとき、11の倍数であることを示せ。
5で割ると2余り、7で割ると4余る200以下の自然数の和を求めよ。
6x＋7y＝9 を満たす整数 x,y の中で |x＋y| を最小にする x,y を求めよ。
1/m＋1/n＝1/8（m≦n）を満たす自然数の組（m,n）をすべて求めよ。
7x＋7y＝4xy を満たす自然数の組（x,y）をすべて求めよ。
2つの条件 a^2＋ab＋b^2＝7 . a＞|b| を満たす整数の組（a,b）を求めよ。
|2x－3|＝[x] を満たす x を求めよ。ただし、[x] は x を超えない最大の整数を表す。
xに関する不等式 x^2－px＋1＜0 が 3個以上4個以下の整数値の解xを持つような整数値pを求めよ。
x,y,z を負でない整数とする。x＋2y＋4z＝8 を満たす (x,y,z) の組の個数を求めよ。
x,y,k を負でない整数とする。x＋2y＝4k を満たす (x,y) の組の個数を求めよ。
x,y,z,n を負でない整数とする。x＋2y＋4z＝4n を満たす (x,y,z) の組の個数を求めよ。
ｎを自然数とする。2x＋y≦5n , x－2y≦0 , x≧0 を同時に満たす整数の組（x,y）の個数を求めよ。
ｎを自然数とする。2^2≦x＜2^3 , 0＜y≦log_{2}(x) を同時に満たす整数の組（x,y）の個数を求めよ。
ｎを自然数とする。2^n≦x＜2^(n+1) , 0＜y≦log_{2}(x) を同時に満たす整数の組（x,y）の個数を求めよ。
ｎを自然数とする。2^1≦x＜2^(n+1) , 0＜y≦log_{2}(x) を同時に満たす整数の組（x,y）の個数を求めよ。
x,y,n を負でない整数とする。x/3＋y≦n を満たす (x,y) の組の個数を求めよ。
(1)(3,5)(7,9,11,13)(15,17,19,21,23,25,27,29)(31,33,・・・ のとき、第n番目の群の、項数と初項を求めよ。
(2)(4,6)(8,10,12)(14,16,18,20)・・・ のとき、100は第何群の何番目の項であるか。
2014^10 の十の位の数字を求めよ。ただし必要ならば、7^9＝40353607、7^10＝282475249 を用いてもよい。
2014^10 の十万の位の数字を求めよ。ただし必要ならば、7^9＝40353607、7^10＝282475249 を用いてもよい。
2014^10 の上３桁の数字を求めよ。ただし必要ならば、7^9＝40353607、7^10＝282475249 を用いてもよい。
1,2,4,8,11,13,16,17,19,22,23,26,29,・・・について、第何項で初めて105を超えるか。初項から第100項までの和を求めよ。
自然数Ｎのすべての正の約数の和は、60であるという。このようなＮは何個あるか。
Ｎ＝100！とするとき、Ｎの末尾には0がいくつ並ぶか。
Ｎ＝100！とするとき、Ｎの桁数は100桁より多く、200桁以下であることを示せ。
Ｎ＝100！とするとき、Ｎと50^100のどちらが大きいか。
「ｎを2より大きい自然数とするとき、x^n＋y^n＝z^n を満たす整数解 x,y,z (xyz≠0) は存在しない。」
というのはフェルマーの最終定理として有名である。しかし多くの数学者の努力にも関わらず一般に証明されていなかった。
ところが1995年にこの定理の証明がワイルスの100ページを超える大論文と、テイラーとの共著論文により与えられた。
当然 x^3＋y^3＝z^3 を満たす整数解 x,y,z (xyz≠0) は存在しない。
フェルマーの定理を知らないものとして、次を証明せよ。
x,y,zを0でない整数とし、もしも等式 x^3＋y^3＝z^3 が成立するならば、x,y,z のうち少なくとも1つは3の倍数である。
実数x,y について、x＋y,xy が共に偶数とする。自然数ｎに対して、x^n＋y^n は偶数となることを示せ。整数以外の実数の組(x,y)の例を示せ。
5x－11y＝1 を満たす自然数の組(x,y)のうち、xの値が0に近いほうから9番目の組を求めよ。
37x＋23y＝1 を満たす整数の組(x,y)のうち、yの値が40に最も近い組を求めよ。
ｎを正の整数とするとき、不等式 4|x|＋3|y|≦12n を満たす組(x,y)のうち、xとyが共に整数である組の総数を求めよ。
2x^2－y^2＝9 を満たす整数 x,y は3の倍数であることを証明せよ。
21x^2－10y^2＝9 を満たす整数 x,y は存在しないことを証明せよ。
数列11,1001,100001,10000001,…について、この数列の項はみな11の倍数であることを証明せよ。
数列11,1001,100001,10000001,…について、この数列の中の7の倍数を一般的に表せ。
２次方程式 x^2＋(m－11)x＋m＝0 が自然数の解を持つような整数mの値をすべて求めよ。
２次関数 f(x)＝ax^2＋bx がある。
ある整数kに対してf(k－1),f(k),f(k＋1)が整数となるとき、すべての整数nに対してf(n)は整数であることを示せ。
関数 f(x)＝(x^2＋3x＋9)/(x^2－3x＋9) の値が整数となるxの値を求めよ。
方程式 [x]＝[x^2/2] の解を求めよ。
10円、50円、100円の硬貨でちょうど400円を支払う場合の数を求めよ。
10円、50円、100円の硬貨でちょうど10000円を支払う場合の数を求めよ。
5x＋4y≦200,x≧0,y≧0 を満たす整数の組(x,y)の個数を求めよ。
nを3以上の自然数とする。n!－1の1より大きい約数はnより大きいことを示せ。
nを3以上の自然数とする。n＜p＜n! を満たす素数pが存在することを示せ。
3で割ると2余る素数は無限に存在することを証明せよ。
素数pおよび自然数nに対し、N＝1＋p＋p^2＋…＋p^nとおく。
(1) N＜p^(n+1)を示せ。
(2) n以下の自然数kに対し、集合{1,2,…,N}に属する数の中、p^kの倍数であるものの個数m(k)を求めよ。
(3) p^mがN！の約数であるような最大の整数mを求めよ。