事の発端は、エレベーター。
2台あるうちの1台が引越し関連で養生してあって、1台は養生していなかった。
2台が1つのスイッチで連動しており、どちらが開くかは偶然次第。
(実際には、その前がどうだったかによってどちらが開くか決まるのだが、
前の状態がわからない人にとっては偶然に決まると考えてもよい)
養生してある籠としてない籠が「当る」のは同じ確率のはずだが、
たまたま片方が養生してあると、経験上は幸か不幸か
養生してある籠が当る率が圧倒的に多かった。
ざっくり5回に4回は養生してある方。
これをたまたまと見るか、確率的に珍しい事象とみるか、
なんて考えてたら、ふと別の疑問がわいた。
それは、「5回に4回」と「10回に8回」とは同じ確率で起こるのか。
そして片方が開く確率が1/2ではなく、5回に4回、つまり4/5だったとき
5回に4回はどのくらいの確率か。
これが考えてもどう計算していいのかよくわからない。
そこで単純化して、確率1/2の事象が、2回に1回起こるのと、
4回に2回起こるのと同じ確率か、考えてみた。
わかりやすくするため、コインで考えてみる。
コインを投げて裏と表の出る確率が同じ、ともに1/2とする。
実際にはコインが立つなどの事象が起こる可能性もなくはないが、
裏表が決まる場合のみを対象に考える。
(1)2回に1回裏が出る確率。
コインを2回投げて、裏表の出る組み合わせは4通り。
1:表表
2:表裏
3:裏表
4:裏裏
裏も表も同じ確率で出るので、この4通りは同じ確率で発生する。
このうち、裏が1回だけ出る確率は2通り。
したがってその確率は2/4=1/2となる。
別の計算をしてみる。
2回投げて裏が1回でるケース以外のケースとは、
上記のとおり、表表か裏裏。
表の出る確率は1/2なので、表表となる確率は1/2×1/2=1/4、
裏の出る確率も1/2で、裏裏となる確率は1/2×1/2=1/4、
表表か裏裏となる確率は1/4+1/4=1/2
全体の確率から表表+裏裏を引くと1-1/2=1/2で
1回だけ裏になる確率は1/2。
当然ですが同じ。
(2)4回投げて2回裏が出る確率。
コインを4回投げて、裏表の出る組み合わせは16通りと激増する。
01:表表表表
02:表表表裏
03:表表裏表
04:表表裏裏
(面倒なので途中は略しますが、本当に16あるか心配な方は書いてみてください)
15:裏裏裏表
16:裏裏裏裏
どの組み合わせも同じ確率で起こり、それぞれ1/16。
この中で裏が2回出る組み合わせは、6通り。
1:表表裏裏
2:表裏表裏
3:表裏裏表
4:裏表表裏
5:裏表裏表
6:裏裏表表
全16通り中6通りなので、確率は6/16=3/8となり、
1/2より小さくなる。
2回に1回は1/2の確率なのに、それを4回にしただけで確率が減る。
不思議です。
別の計算をしてみよう。
4回投げて裏2回でないケースとは
裏が0(全部表)=1通りしかなく、確率は1/16、
裏が1回=4通りあり、確率は4/16=1/4、
裏が3回=4通りあり、同じく確率は4/16=1/4、
裏が4(全部裏)=1通りで確率は1/16、
裏2回以外の確率は、1/16+4/16+4/16+1/16=10/16=5/8
全体から引くと1-5/8=3/8。
裏2回になるのはやはり3/8。
*
じゃあ10回に5回はどうなんだろう、という疑問もわく。
ところがこれは「じゃあ書いてみる」とはいかない。
10回投げて表、裏の出る組み合わせは1024通りあるから。
これは重複順列で数学の記号で書けば、
となり、答えは
2の10乗=1024
一方、10回のうち5回が裏の組み合わせは、
10回のうち裏になる回を5つ選ぶ組み合わせになるので、
で、
答えは252通り。
全1024通りのうちの252通りなので、252/1024で
ほぼ1/4となる。
じゃあ、20回に10回は?
全組み合わせは、
=2の20乗で1,048,576通り。
100万回を超え、とても書くわけにはいかない。
そのうち10回が裏の組み合わせは、
となり、184,756。
184756/1048576=0.176197
ざっくり18%、1/5にもならない。
回数が増えるほど確率は減ってくる。
ただしこの計算はピタリ半分の回数というところが味噌。
1回ずつの確率は1/2でも全体で1/2になる確率は1/2ではない。
やっぱり不思議。
2台あるうちの1台が引越し関連で養生してあって、1台は養生していなかった。
2台が1つのスイッチで連動しており、どちらが開くかは偶然次第。
(実際には、その前がどうだったかによってどちらが開くか決まるのだが、
前の状態がわからない人にとっては偶然に決まると考えてもよい)
養生してある籠としてない籠が「当る」のは同じ確率のはずだが、
たまたま片方が養生してあると、経験上は幸か不幸か
養生してある籠が当る率が圧倒的に多かった。
ざっくり5回に4回は養生してある方。
これをたまたまと見るか、確率的に珍しい事象とみるか、
なんて考えてたら、ふと別の疑問がわいた。
それは、「5回に4回」と「10回に8回」とは同じ確率で起こるのか。
そして片方が開く確率が1/2ではなく、5回に4回、つまり4/5だったとき
5回に4回はどのくらいの確率か。
これが考えてもどう計算していいのかよくわからない。
そこで単純化して、確率1/2の事象が、2回に1回起こるのと、
4回に2回起こるのと同じ確率か、考えてみた。
わかりやすくするため、コインで考えてみる。
コインを投げて裏と表の出る確率が同じ、ともに1/2とする。
実際にはコインが立つなどの事象が起こる可能性もなくはないが、
裏表が決まる場合のみを対象に考える。
(1)2回に1回裏が出る確率。
コインを2回投げて、裏表の出る組み合わせは4通り。
1:表表
2:表裏
3:裏表
4:裏裏
裏も表も同じ確率で出るので、この4通りは同じ確率で発生する。
このうち、裏が1回だけ出る確率は2通り。
したがってその確率は2/4=1/2となる。
別の計算をしてみる。
2回投げて裏が1回でるケース以外のケースとは、
上記のとおり、表表か裏裏。
表の出る確率は1/2なので、表表となる確率は1/2×1/2=1/4、
裏の出る確率も1/2で、裏裏となる確率は1/2×1/2=1/4、
表表か裏裏となる確率は1/4+1/4=1/2
全体の確率から表表+裏裏を引くと1-1/2=1/2で
1回だけ裏になる確率は1/2。
当然ですが同じ。
(2)4回投げて2回裏が出る確率。
コインを4回投げて、裏表の出る組み合わせは16通りと激増する。
01:表表表表
02:表表表裏
03:表表裏表
04:表表裏裏
(面倒なので途中は略しますが、本当に16あるか心配な方は書いてみてください)
15:裏裏裏表
16:裏裏裏裏
どの組み合わせも同じ確率で起こり、それぞれ1/16。
この中で裏が2回出る組み合わせは、6通り。
1:表表裏裏
2:表裏表裏
3:表裏裏表
4:裏表表裏
5:裏表裏表
6:裏裏表表
全16通り中6通りなので、確率は6/16=3/8となり、
1/2より小さくなる。
2回に1回は1/2の確率なのに、それを4回にしただけで確率が減る。
不思議です。
別の計算をしてみよう。
4回投げて裏2回でないケースとは
裏が0(全部表)=1通りしかなく、確率は1/16、
裏が1回=4通りあり、確率は4/16=1/4、
裏が3回=4通りあり、同じく確率は4/16=1/4、
裏が4(全部裏)=1通りで確率は1/16、
裏2回以外の確率は、1/16+4/16+4/16+1/16=10/16=5/8
全体から引くと1-5/8=3/8。
裏2回になるのはやはり3/8。
*
じゃあ10回に5回はどうなんだろう、という疑問もわく。
ところがこれは「じゃあ書いてみる」とはいかない。
10回投げて表、裏の出る組み合わせは1024通りあるから。
これは重複順列で数学の記号で書けば、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/48/8d/ef6d609f5041b1193b891d66879c757b.jpg)
2の10乗=1024
一方、10回のうち5回が裏の組み合わせは、
10回のうち裏になる回を5つ選ぶ組み合わせになるので、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/5d/f7/1ae4382f3ebcfd4da1f4899851e55fa5.jpg)
答えは252通り。
全1024通りのうちの252通りなので、252/1024で
ほぼ1/4となる。
じゃあ、20回に10回は?
全組み合わせは、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/57/05/039aa89c11ff50e8763d28587693651d.jpg)
100万回を超え、とても書くわけにはいかない。
そのうち10回が裏の組み合わせは、
![](https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/03/fb/8511f8d1d8d23d2a60d0f16d673cb59e.jpg)
184756/1048576=0.176197
ざっくり18%、1/5にもならない。
回数が増えるほど確率は減ってくる。
ただしこの計算はピタリ半分の回数というところが味噌。
1回ずつの確率は1/2でも全体で1/2になる確率は1/2ではない。
やっぱり不思議。
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