2023年9月24日(日)
楕円
x²/a²+y²/b²=1
の面積は、中学数学でも求めることができる。上の楕円は、円
x²+y²=a²
をy軸方向だけにb/a拡大(縮小)したものだからである。したがって、楕円の面積は
π a²× b/a=πab
となる。
しかし、弧の長さは簡単でない。一般にy=f(x)のx=aからx=bまでの弧の長さLは、
∫_[a,b] √{1+(f'(x))²}・dx
で与えられる。媒介変数表示x=x(t),y=y(t)でt=αからt=βまでの弧の長さLは、
∫_[α,β] √{(dx/dt)²+ (dy/dt)²}・dt
となる。これらの公式に当てはめてみると、次の不定積分
∫√{1+(f'(x))²}・dx ∫√{(dx/dt)²+ (dy/dt)²}・dt
が初等関数で表されないのである。ここに、
楕円の弧長 第二種楕円積分
が登場してくるのである。このことを頭に置いて、第二種楕円積分についてみておこう。
なお、第一種楕円積分のときと同様に、
武部尚志『楕円積分と楕円関数 おとぎの国の歩き方』(日本評論社、2020.0710 第2版)
をおおいに参照させていただいた。グラフ等図は、この本からの引用である。
ちょっと休息 9月22日のfacebook投稿
今日は2ヶ月ぶりに岐阜学習センターに出かけました。
午前中は医師会病院に通院してから、その足でOKBふれあい会館に出かけました。11時30分頃に到着。途中
のコンビニで購入した弁当で昼食を取るために、学生控え室へ入りました。そこで昼食を取ってから、学友とサー
クルが始まる14時まで話していました。
14時からサークル「おもしろ物理」に参加。今日のテーマは極座標(r,θ)で
r=a(e^bθ) a,b定数
で表される対数螺旋(等角螺旋)でした。数学に関心の薄いメンバーには難しい内容だったと思います。
16時まで、いろいろな議論をしました。