第二種楕円積分 ～楕円の弧長を求める

２０２３年９月２４日（日）

 

 　楕円

　　　x²/a²＋ｙ²/ｂ²＝１　　　

の面積は、中学数学でも求めることができる。上の楕円は、円

　　　x²＋ｙ²＝a²

をｙ軸方向だけにb/a拡大（縮小）したものだからである。したがって、楕円の面積は

　　π a²× b/a＝πab

となる。

　 しかし、弧の長さは簡単でない。一般にy=f(x)のx=aからx=bまでの弧の長さLは、

　　∫_[a,b] √{1+(f'(x))²}・dx

で与えられる。媒介変数表示x=x(t),y=y(t)でt=αからt=βまでの弧の長さLは、

       　∫_[α,β] √{(dx/dt)²+ (dy/dt)²}・dt

となる。これらの公式に当てはめてみると、次の不定積分

　　　∫√{1+(f'(x))²}・dx　　　　∫√{(dx/dt)²+ (dy/dt)²}・dt

が初等関数で表されないのである。ここに、

　　　レム二ケートの弧長　　　第一種楕円積分

　　　楕円の弧長　　　　　　　第二種楕円積分

が登場してくるのである。このことを頭に置いて、第二種楕円積分についてみておこう。

 

　なお、第一種楕円積分のときと同様に、

　　　武部尚志『楕円積分と楕円関数　おとぎの国の歩き方』（日本評論社、2020.0710　 第２版）

をおおいに参照させていただいた。グラフ等図は、この本からの引用である。

 

 

 

 

ちょっと休息　　　９月２２日のfacebook投稿

　今日は２ヶ月ぶりに岐阜学習センターに出かけました。

 

　午前中は医師会病院に通院してから、その足でOKBふれあい会館に出かけました。１１時３０分頃に到着。途中

 

のコンビニで購入した弁当で昼食を取るために、学生控え室へ入りました。そこで昼食を取ってから、学友とサー

 

クルが始まる１４時まで話していました。

 

　１４時からサークル「おもしろ物理」に参加。今日のテーマは極座標(r,θ）で

 

　　r=a(e^bθ）　　a,b定数

 

で表される対数螺旋（等角螺旋）でした。数学に関心の薄いメンバーには難しい内容だったと思います。

 

　１６時まで、いろいろな議論をしました。