テイラー級数・フーリエ級数

テイラー級数とは、すべての関数を x^n の多項式で近似する方法です。

x=a の近傍では、f(x)は以下のように近似できます。

f(x) = Σ f[n](a)*(x-a)^n,    n=1,2,3...

表示が分かりにくいのですが、f[n](x) とはf(x)をn回微分したもの、(x-a)^nは x-a のn乗という意味です。

注意すべき点は、x=aの近傍での近似で、全区間での近似ではない点です。

 

フーリエ級数とは、すべての関数を sin nx と cos nx で近似する方法です。

周期2πの関数は以下のように級数表示(an, bn, c)できます。

f(x) = c + Σ ∫ (an*cos nx + bn*sin nx) + ε       n=1,2,3...

　c=1/2π*∫ f(x) dx  積分区間[-π, π]

　an = 1/π*∫ f(x)*cos nx dx  積分区間[-π, π]

　bn = 1/π*∫ f(x)*sin nx dx  積分区間[-π, π]

周期は2のとき、lのときと拡張・一般化可能で、さらに複素数表示を用いると、以下のように表現できます。

f(x) = Σ cn*e(inπx/l)

  cn = 1/2l * ∫ f(x)*e(-inπx) dx  積分区間[-l, l]

（詳しい過程・証明は長くなるので省略します）

これを応用したのがフーリエ変換ですが、詳しくはこちらをご参照ください。

ラプラス変換・フーリエ変換

ラプラス変換：　F(t)＝∫f(x)e(-tx)dx   積分区間[0,∞]

フーリエ変換：　F(t)＝∫f(x)e(-itx)dx   積分区間[-∞,∞]

※e(-tx)はネイピア数eの-tx乗、e(-itx)はeの-itx乗という意味です。iは虚数です。

 

「変換」とは原関数f(x)から像関数(t)を作りだすという意味になります。

ℒ：f(x)→F(t)、ℱ：f(x)→F(t)　と表現することもあります。

 

ラプラス変換、フーリエ変換の式はよく似ていますが、以下二点で異なります。

・原関数にラプラス変換はe(-tx)、フーリエ変換はe(-itx)を掛ける。

・積分区間はラプラス変換で[0,∞]、フーリエ変換で[-∞,∞]

 

なんでこんなことをやるかというと、複雑な関数を簡単に表現することができるからです。

例えば f(x)=sinxのラプラス変換は F(t)=1/(1+t^2)、f(x)=e(-x)のフーリエ変換はF(t)=2/(1+t^2)です。

かえって複雑な関数になる場合もありますが、そのときは逆ラプラス変換ℒ-1：F(t)→f(x)、逆フーリエ変換ℱ-1：F(t)→f(x)とし、逆方向に考えれば簡単になります。

微分方程式など、複雑な計算は、フーリエ変換・ラプラス変換を利用して解けるケースが多数あります。

 

計算を簡単にするために用いられるという点では、対数変換も共通点があります。

z=a*x^3*y^4 も対数変換すると、log z = a + 3 log x + 4 log y となり、一次式にできます。