リーマン予想と素数の謎､旧その１(20/4/5更新)〜オイラーとゼータ関数とガンマ関数と。

　ジョージ•フリードリッヒ•ベルンハルト•リーマン､1826〜1866)は､19世紀を代表する偉大なドイツの数学者です。
　リーマンは､オイラーの百年後にゼータ関数論を再興した。その中心が､33歳の時1859年11月に発表した僅か6頁の短い論文でした。
　リーマンがオイラーと異なるのは､ゼータ関数を複素数上で解析接続を行った事です。その上､明確な素数公式を証明し､その後のゼータ関数論を支配する様な”リーマン予想”を提出した。　

リーマンとゼータ関数

　｢リーマンと数論｣(黒川信重＆加藤文元)で初めて､リーマンという人を知ったんですが､その為には絶好の本です。或いは｢オイラーとリーマンのゼータ関数｣(黒川信重)の方が､後出で多少判りやすいですかね。
　"リーマンなくして数学なし"というのが､現代数学者の共通認識だそうで､師匠がオイラーと並ぶ最高の数学者の一人である､カール•フリードリヒ•ガウス(1777〜1855)というから､これまた畏れ入ります。

　39歳の若さで生涯を閉じたリーマンですが､死後150年以上も謎とされるリーマン予想と､そのリーマン予想の主役であるゼータ関数。
　この難解な関数は､オイラー積を起源とし､ガンマ関数やテータ関数などと密に繋がっており､また､RSA暗号を紐読く素因数分解や素数分布(素数定理)とも深く関係してるんです。

　故に､”リーマンの謎＝素数の謎”で､自然数の中に素数がどの様な間隔で分布してるのか？など､素数に関する謎は沢山あリますが。
　この謎多き素数に深い関りを持つのがゼータ関数です。このゼータ関数は､数論や力学系の研究を初め､数学や物理学の様々な分野で用いられてます。
　そして､10種類以上もあるゼータ関数の中で､最も歴史が古いとされるリーマンゼータ関数です。

　わかり易く結論から言えば､素数の分布はゼータ関数の分布によく似ており､素数分布のパターンにピタリと寄り添う様にゼータ関数のパターンが続いてんですね。
　それを証明する事こそがリーマン予想なんですが。しかし､完璧に証明するには､まだまだ多くのハードルが存在するようです。
　リーマンが”素数を奏でた数学者”と称されるのも､ゼータ関数を音楽を奏でる様に編み上げ､明確な素数定理に結びつけたからでしょうか。

謎多きゼータ関数とガンマ関数と

　先ず､この謎深きゼータ関数ζ(s)とは､1以外の複素数(s≠1､s∈C)で定義された関数で､ζ(s)＝Σ(n=1,∞)1/nˢ＝1+1/2ˢ+1/3ˢ+•••と､非常にキレイな形で表現されます。この式は何度も出て来ますので､覚えときましょう。
　このゼータ関数は元々､オイラーが発見し､整数の特殊値に関する重要な発見をしていたんですが(”4の2”Click参照)。　
　これを特別に､リーマンが名付けたゼータ関数と言います。つまり､オイラーが発見し､リーマンが確立したゼータ関数ですね。

　このリーマンゼータ関数は､複素数sの実部Re(s)>1の時に収束し､s＝1の時､調和級数となり発散します。
　リーマンの解析接続により､s＝1を一位の極(特異点)とし､それ以外の全ての複素数にて､正則な有理型関数(微分可能な複素関数の事)となリます。
　以上は､ゼータ関数の基本です。しかし理解する程に深い意味を持つ関数ですね。

　因みに､ ζ(s)はガンマ関数Γを用いても表現され。ζ(s)＝1/Γ(s)∫(u=0,∞)uˢ⁻¹/(eᵘ−1)*du､但し､Re(s)>1と､定義できます。これは､”オイラーの第一積分表示”と呼ばれ(”1の3”Click参照)､大袈裟に言えば､ゼータ関数がガンマ関数と結びついた歴史的瞬間でもあったんです。
　ガンマ関数とは､階乗の概念を一般化した特殊関数で､R(z)>0なる複素数zにて､Γ(z)＝∫(t=0,∞)tᶻ⁻¹e⁻ᵗdt､で表示され､オイラーが最初に導入し､”第二種オイラー積分”とも言われます。
　因みに基本的な性質は､Γ(z+1)＝zΓ(z)とΓ(n+1)＝n!です。このガンマ関数もリーマンによって解析接続され､無限乗積で定義&拡張されるんですが。これも”1の3”を参照です。

　上述した様に､オイラーは､sを自然数とする時､この級数の収束を考察してたんですが。後にリーマンがsを複素数にまで拡張。ギリシャ文字のζ(ゼータ)による表記に因み､リーマンゼータ関数と呼び､リーマン予想に漕ぎ着けたのです。
　因みに､オイラーもこのゼータ級数に”Z”という名をつけてたそうです。

　このゼータ関数の研究にて､リーマンは上で述べた”オイラーの第一積分表示”ζ(s)＝1/Γ(s)∫(t=0,∞)tˢ⁻¹/(eᵗ−1)*dt､から出発し､複素関数として解析接続を行います。
　その後､”オイラーの非対称型関数等式”ζ(1−s)＝ζ(s)2(2π)⁻ˢΓ(s)cos(πs/2)を証明します。
　以上､オイラーが発見した､ゼータに関する非常に重要な3つの関数等式が登場しますが､この3つの関数等式は､以降何度も何度も腐るほど出て来ます。


リーマンのゼータ関数

　リーマンはゼータ関数を複素全域に拡張した後､”素数公式”(素数定理の明示公式)を発見するんですが。”素数の個数関数”であるこの公式は､まだ不完全ではありました。
　しかし､これはリーマン以前には､誰も予想すら､いや理解すら出来なかった程の定理だと言われてます。

　また､リーマンは､1859年の論文｢与えられた数より小さい素数の個数にて｣の中で､
ζ(s)＝2ˢπˢ⁻¹sin(πs/2)Γ(1−s)ζ(1−s)､を示してますが。
　先述した”オイラーの非対称型関数等式”と形は異なりますが。ガンマ関数Γ(s)の公式を使って変形すると得られます。
　この事は複素解析的関数の解析接続が､初めて明示的に行われた例とも言われてます。
　因みに､この等式に､s＝−2n(n:自然数)を代入すると､sin(−nπ)＝0より､他の因子は有限値なので､ζ(−2n)＝0となり､−2nは自明なゼータ関数の零点(実零点＝実根)となります。
　これも後に述べますが､ゼータの歴史の中でとても重要な事です。

　また､リーマンによって導入され､”完備化”されたゼータ関数は､ξ(s)＝π^(−s/2)Γ(s/2)ζ(s)と修正され､ξ(s)＝ξ(1−s)の完全対称型の関数等式をとる。
　因みに､リーマンはこの完全対称型のゼータをクシー関数Ξ(s)と名付けました。リーマンはこのクシー関数を積表示に展開するんですが､この証明はリーマンの論文の中でも最も難しいとされ､理解するのに30年､証明するのに10年かかりました(アダマール､1893)。
　これこそが､ゼータ関数がガンマ因子(＝π^(−s/2)Γ(s/2))と結び付く歴史的瞬間です。
　以上は､”1の6”と”1の7”の方が判り易いですね(要Click)。

　しかしこの綺麗すぎるゼータが､挑戦する事自体､自殺行為と怖れられた関数が､後々の偉大な数学者を苦悩の淵に追いやるんですね。