リーマン予想と素数の謎”１の６”(20/7/20更新)〜オイラーの非対称型ゼータから､リーマンの対称型ゼータと完備ゼータ関数へ

　”1の2”から”1の5”まで延々とリーマンの”解析接続”を述べてきましたが。あと6話ほどで､”その1”(シーズン1)の最後にします。その後は､”その2”(シーズン2)に入ります。多分6話ほどになる予定ですが（実際には17話にも膨れましたが^^）。
　さてと今日は､オイラーの非対称型関数等式からリーマンの対称型関数等式を導き出し､完備ゼータ関数に一歩コマを進めます。
　因みに完備ゼータとはゼータの完全版(コンプリート=完備)だと思って下さい。

オイラーの非対称型からリーマンの対称型へ

　”1の5”(Click)でも述べた様に､オイラーは非対称型ゼータ関数等式､ζ(1−n)/ζ(n)=2Γ(n)cos(πn/2)/(2π)ⁿを既に見出してました(1749)。
　しかし､当時は複素関数も解析接続もなく､この等式の正確な意味付けはなされないまま､発見のみで証明はなされてなかった。

　これに対し､リーマンが新たに発見した対称型ゼータ関数等式は､ζ(1−s)/ζ(s)=π^(−s/2)*Γ(s/2)/{π^(−(1−s)/2)*Γ((1−s)/2)}です(1861)。
　少し見にくいですが､分母を払えば全くの左右対称等式ですね。前回”1の5”でも言いましたが､ξ(s)=π^(−s/2)*Γ(s/2)*ζ(s)とおくと､完備ゼータの完全対称式のξ(s)=ξ(1−s)となります。
　つまりゼータ関数等式には､オイラーが発見した非対称型とリーマンが改良した対称型と､それに新たに発見した完全型(完備ゼータ)の3つの等式を頭によーく入れといて下さい。
　因みに､π^(−s/2)*Γ(s/2)がガンマ因子になってる事も､前回で述べましたね。

　リーマンは､オイラーの非対称型ゼータζ(1−s)/ζ(s)=2Γ(s)cos(πs/2)/(2π)ˢ―①を､s↔1−sの変換で､分母と分子を入れ替える様にし､”対称型”に変形しました。しかしcos(πs/2)が謎で､これを何とか消したい訳です。
　そこで､ガンマ関数の”倍角の公式”と”相反公式”を使って､オイラーの非対称型ゼータからcos(πs/2)を消します。
　まず､Γᵣ(s)=π^(−s/2)*Γ(s/2)とおきます。Γᵣ(s)がガンマ因子になってる事から､①=ζ(1−s)/ζ(s)＝Γᵣ(s)/Γᵣ(1−s)を示せばいいんですが。ガンマとゼータでは分母と分子が入れ替わってる事に注目です。
　つまりリーマンは､ガンマとゼータとの間で分母と分子を入れ替える事で､cos(πs/2)を見事に打ち消したんです。

　そこで”倍角の公式”は､Γ(2z)=2²ᶻ⁻¹/√π*Γ(z)Γ(z+1/2)より､z=1/2とおくと､Γ(s)=2ˢ⁻¹/√π*Γ(s/2)Γ((s+1)/2)。
　これを①に代入すると､
①=Γ(s/2)Γ((s+1)/2)/π^(s+1/2)*cos(πs/2)
=Γ(s/2)/π^(s/2)*Γ((s+1)/2)/(π^((s+1)/2)*cos(πs/2)
=Γᵣ(s)Γᵣ(s+1)*cos(πs/2)―②。
　また､”相反公式”はΓ(z)Γ(1−z)=π/sin(πz)ですから､z=(1+s)/2とおくと､Γ((1+s)/2)*Γ((1−s)/2)
=π/sin(π(1+s)/2)=π/cos(πs/2)。
この分母の変形は三角関数の公式を使います。
　故に､cos(πs/2)=π/(Γ((1+s)/2)*Γ((1−s)/2))
=π^((1+s)/2)*π^((1−s)/2)/(Γ((1+s)/2)*Γ((1−s)/2))=1/Γᵣ(1+s)Γᵣ(1−s)。
　故に､cos(πs/2)=1/Γr(1+s)Γr(1−s)を②に代入すると､①=Γᵣ(s)/Γᵣ(1−s)ですね。
　よって､2Γ(s)cos(πs/2)/(2π)ˢ
=π^(−s/2)*Γ(s/2)/(π^(−(1−s)/2)*Γ((1−s)/2))が証明出来ました。

　見事に､cos(πs/2)が打ち消されてますね。ガンマ関数Γの”倍角の公式”と”相反公式”が少しややこしいですが､落ち着いてやれば難しくないです。
　よく見ると､cosで表示された非自明な謎の所が､s↔1−sの変換の分母/分子で表現出来てます。これぞまさに､リーマンショックです。
　以上より､リーマンゼータ関数が任意の複素数sで解析接続され､オイラーの非対称型ゼータから､リーマンの自明な美しい対称型ゼータを導き出す事が出来ました。
　それと､解析接続の一意性の性質から､問題ごとの適切な解析接続法が必要な事も示してくれますね。

完備ゼータ関数の本質とオイラー積

　その後20世紀になり､上で述べたπ^(−s/2)*Γ(s/2)というリーマンが発見した因子は”ガンマ因子”と呼ばれます。
　それに､”オイラー積”ζ(s)=Πₚ(1/(1−p⁻ˢ)とは”全ての素数pに渡る積”でしたが､これにガンマ因子(π^(−s/2)*Γ(s/2))をかける事で完備ゼータになり､完備ゼータ関数を表す完備オイラー積となります。故に､完備ゼータ=ガンマ因子×ζ(s)となります。何度もしつこいですが､これはとても重要な事です。

　また､完備ではないゼータでは”自明な零点”(実零点または実根)が出てきますが､上で求めたリーマンの対称型関数等式を使ってこの実零点を解消できます。
　この対称等式の分母を払うと､
ζ(1−s)*π^(−(1−s)/2)*Γ((1−s)/2)=ζ(s)*π^(−s/2)*Γ(s/2)ー②となりますね。
　先ず､s=−2n(負の偶数)とすると､1−sは3以上の奇数となり､左辺のガンマ因子は絶対収束し､0でない有限値をとります。
　また､ガンマ因子はs=0､−nで極となるので､右辺のsは負の偶数､s/2は負の整数より､Γ(s/2)は発散し､故にζ(s)=0になる必要がある。
　よって､ζ(−2n)=0。故にリーマンゼータ関数は全ての負の偶数で”自明零点”(実根)を持つ。
　またs=0にてはゼータの極(1)となり､右辺もガンマ因子の極(0)になるので､両辺共に∞となり､②の等式が成立する。故に､ゼータの自明な零点はこれが全てですね。
　一方で､自明でない零点(虚零点または虚根)はガンマ因子が有限値をとるので､ζ(1−s)=ζ(s)=0を満たす点より､s=1/2を中心とした対称の2組の点列という事になります。

　つまり､”ゼータの全ての虚零点の実部は1/2であろう”というリーマン予想は､”完備ゼータの全ての零点の実部は1/2であろう”と言い換える事が出来ます。故に､実零点は考えなくてもいいんです。
　自明な零点(−2n)は､ガンマ関数の極(−n)と打ち消し合うから､ガンマ因子を持つ完備ゼータでは零点じゃない。つまり虚零点こそが”本質的零点”であり､自明零点(実零点)は”中途半端な零点”と言える。
　故に､完備ゼータこそが本質的であり､素数よりも”素点”(体を空間として素数を完備化する方法)の方が本質的概念である。
　因みに､ここでいう完備化とは､”ゼータの収束列の極限値を全て含む様に拡張する”事で､話せばやたら長くなるので､次回”1の7”に回します。
　つまり､完備ゼータを語るには､素数よりも素点の概念が必要という事で､ここら辺になると非常に抽象的ですね。

　結局､オイラーが見出した対称関数等式は､右辺のcos部分の因子の意味が不明でしたが､リーマンがξ(s)=ξ(1−s)という完備ゼータの完全対称型等式を発見したお陰で､今ではオイラー積と言えば､カンマ因子を含めた完備ゼータのオイラー積が常識となってます。
　しかしその起点となったのが､リーマンのテータ関数を用いた”第二積分表示”だったんですね(”1の4”と”1の5”参照)。

リーマンの第三の積分表示と

　オイラーはsを自然数とする時､この級数ζ(n)の収束を考察してましたが(Z関数と名付けてた事が判っている)。後にリーマンがsを複素数にまで拡張し､ギリシャ文字のζによる表記に因み､リーマンゼータ関数ζ(s)と名付けました。
　オイラーのゼータを”オイラー積ゼータ関数”と呼び､リーマンのゼータを複素ゼータ関数と呼ぶ方が判りやすいかもです。 

　これまで述べてきた様に､リーマンは､オイラーの”第一積分表示”から出発し､複素関数として解析接続を行った後､オイラーの非対称ゼータを完全対称ゼータに変換します。これは､完備ゼータの完全対称型にもなってます。
　その後リーマンは､”明示公式”(素数公式)と名付けた”自明な素数定理”を発見しました。”素数の個数関数π(x)”であるこの素数公式は不完全ではありましたが､1895年にフォン•マンゴルドによって証明されます。
　リーマンは､π(x)を求めるには完備ゼータξ(s)の零点ρ全体を求めればいいという結論に達したんですが。残念ながらその詳細はリーマンの1859年の論文には書かれてなかったんですが。唯一書かれてたのが､”Re(ρ)=1/2”という有名な「リーマン予想」でした。

　しかし､リーマンがρ(零点)を求める事に専念した事が明らかになりました。
　1932年､大学の後輩であるカール•ジーゲル(1896〜1981)が､リーマンの計算メモを偶然にも発見したんです。
　それには､リーマンが零点の実部(1/2)だけではなく虚部も3つほど計算してた事。その虚部の計算に､Σ1/ρ=1+γ/2−log(π/2)−log2=0.0230957089…と手計算していた事。
　そして驚くべき事に､ゼータの第3の積分表示(リーマン•ジーゲル積分公式=ゼータ関数の周回積分表示)を用い､零点の手計算を行ってた事が､書かれてあったんです。
　因みに､このリーマン•ジーゲル公式には誤差項が付属し､ この漸近展開を求める時､ジーゲルが第3の積分表示から導き出した積分公式に最急降下法を適用し､導きだしたという事です。

　リーマンは､この手計算を”粗雑な計算式”と言い放ち､敢えて論文に載せなかった。
　お陰でリーマン予想の解明が少なくとも60年は遅れた訳です。因みに､この”隠された粗雑な計算式”は第三の解析接続とも呼ばれます。
　もしこの手計算をリーマンが公表してたら､彼の死後､ラマヌジャンらの大天才の手腕を持ってすれば､ひょっとしたらとも思うんですが。実に勿体無い事ですね。世紀の発明を”粗雑”と切り捨てるリーマンの超天才ぶりが伺えます。

　故に､零点の実部のみを見る「リーマン予想」が重要な予想ではあるものの､リーマンが求めてたものは､それよりもずっとずっと深く奥にあるものだったと言われてます。