リーマン予想と素数の謎､旧その２(20/4/5更新)〜オイラーとリーマンのゼータと､虚数の謎と素因数分解と〜

　ふとした偶然からリーマンに出会い､そして”リーマンの謎”にのめり込んでしまいました。これこそが世界中の数学者を虜にした､魅惑の”ゼータ謎解き”の醍醐味なんだろうか。
　しかしズブの数学素人が､ゼータに内蔵する個々の定理をバカ正直に証明する事は､それ自体が自殺行為(笑)です。

　つまり､ありとあらゆる関数や定理や定義や系の､気の遠くなる様な複雑怪奇の組合せで､数学は構築されるてるんですが。これらをパズルを解く様に､トリックやマジックを使い､一つ一つの謎の鍵を外していく。
　何だかマジシャンみたいな不思議な気分になりますね。

虚数の出現とオイラーの洞察と

　このリーマンのゼータ関数に関しては､複素数や複素関数､複素平面とか､日常では聞き慣れない言葉が沢山出てきます。
　因みに､複素数を成す虚数iとは英語で､イマジナリナンバーといい､2乗した時にマイナスの実数になる”想像上の数”です。
　この”虚数”の歴史に関しては､”1の10”をClick参照です。
　しかし､この実数(a,b)と虚数iを組合せた複素数(a+bi)こそが､数学者にはとても有り難い数字となっていて､1次元のみで扱われてた数を2次元の座標で表せる事により､数論のいや数学の扉が世界へ向けて大きく開いた訳です。
　上述した様に､1次元で表現される実数に対し､2次元の平面上で表現される事で､複素平面とも言われます。故に､複素数の世界は実在する実数に比べ､拡りと旨味のある仮想上の世界なんです。

　例を挙げれば､複素数に"i"をかけると､マイナス90度回転させた座標に移動する魔法の数字なんですな。(a+bi)×i＝ai−bという事です。

　実は､オイラーの公式(e^(iθ)＝cosθ+isinθ)の発見&証明(1748)こそが､虚数のもつ重要性を解き明かし､虚数の評価が一変したんです。
　因みに､この偉大なる公式の最初の発見者は､ロジャー･コーツ(英､1682〜1716)とされ､1714年に､log(cosx+sinx)=ixを発見したんですが､三角関数の周期性による対数関数の多価性(解が無限にある)を見逃した(イラスト右上)。
　その後､オイラーはこの対数の形の公式から指数の形に注目した。そして1748年､指数関数と三角関数の級数展開を比較する事でオイラーの公式の証明が得られたんです。

　コーツは33歳で他界してますから､盟友のニュートンが言う様に､彼が生きてたら”オイラーの公式”は､彼が証明してたかもです。
　つまりコーツの発見がなかったら､この”オイラーの洞察”は埋もれたままだったかもしれない。それ迄､詭弁的な数字で､実用性はないとされてた虚数は､闇に埋もれたまま､現代数学もまた闇に埋もれ､腐れていったのしょうか。
　或いは､現代数学はギリシャ数学のまま停滞してたであろうか。故に現代数学の歴史は､そのまま虚数の歴史と言えますね。

リーマンとオイラーのゼータ関数

　前回の”旧その1”(要Click)でも述べた様に､オイラーの手で初めて発見されたこの無限級数の､そしてリーマンにより､ζ(ゼータ)と名付けられたこのリーマンゼータ関数のその謎ですが。
　当時の偉大な数学者は､このゼータ関数に今ほど興味と野心を強く抱いてたんでしょうか？
　事実オイラーの時代は､ゼータは単なる無限級数とみなされてたし､リーマンの時代は､ゼータよりも素数定理の方が重視されていた。
　因みに､このリーマンとオイラーのゼータ関数ですが。判りやすく言えば､整数域のゼータがオイラーのゼータであり､複素数域のゼータがリーマンゼータと覚えときましょう。

　リーマンゼータ関数ζ(s)＝Σ(s=1→∞)1/nˢは､複素数領域で定義されますが。勿論､1以上の全ての実数 r∈Rでも､無限級数であるζ(r)＝Σ(n=1→∞)1/nʳは､1+1/(rー1)に収束し､定義できます。
　これは､y＝1/x²のグラフに注意し､1+1/2ˢ+1/3ˢ+•••を図示すると､以下の不等式が得られ､Σ(n=1→k)1/nʳ＜1＋∫(1→k)dx/x²を､k→∞に拡張する事で証明出来ます。

　このゼータ関数は､実数の複素数乗が定義できる事から､ゼータ関数は無限に展開する複素数S上でも意味を持つとありますが。複素数も実数で定義出来るんで､実数上で定義出来るゼータ関数も､複素数上でも定義出来そうな気も､素人目にはするんですが。
　でも実際には､”1の2”から”1の5”で詳しく述べた様に(出来ればClick参照)､ゼータの複素数領域への拡張は､まず､オイラーの整数域のゼータをオーレムの定理とマクローリンの定理を使い､実数域に広げ､そこからゼータ関数の各項の絶対値をとり､右半分の領域(Re(s)＞1)にまで広げました。
　そして､オイラーの第一積分表示とリーマンの第二積分表示を用い､気の遠くなる様な2種類の解析接続を駆使し､複素領域を左側(1以外の全域)へと広げていったんです。

素因数分解とゼータ関数の蜜な関係

　ややこしい話ですが。自然数でゼータ関数を考てみましょう。自然数N≧1に対する有限リーマンゼータ関数を､ζN(s)＝Σ(n|N)1/nˢとすると(n|Nとは､nはNの約数です)､少し堅苦しい表記ですがご勘弁を。
ζ1(s)＝1､
ζ2(s)＝1+1/2ˢ､
ζ3(s)＝1+1/3ˢ､
ζ4(s)＝1+1/2ˢ+1/4ˢ､
ζ5(s)＝1+1/5ˢ､
ζ6(s)＝1+1/2ˢ+1/3ˢ+1/6ˢ＝ζ2(s)ζ3(s)､•••､
となり､素因数分解とも､怪し気に繋がってくる予感がしますね。

　事実､素因数分解とオイラー積は密に繋り､それがきっかけでオイラーはゼータを発見します。オイラーがやった様に､自然数でゼータ関数を見ていくと､少しづつその本質が見え隠れしますね。
　余計なお世話ですが､n|Nなるnを素因数分解すると､ζN(s)＝Π(p|N)(Σ(k＝0→ordp(N))1/pᵏˢ)というオイラーの積表示を満たす。
　また､Nの素因数分解は､N＝Π(p|N)p^(ordp(N))。つまり､pのordp(N)の総乗で表現できます。因みに､ordp(N)とは､Nに含まれる素数pの個数(位相)の事です。
　故に､オイラーの積表示から生まれたゼータ関数が素因数分解と密に繋ってるのが明らかになってきます。

　一方で､この難解な素因数分解の厄介な仕組みこそが､RSA暗号(素因数分解する事で暗号を復元)の安全性を確保してんです。
　例えば､100桁の数を素因数分解するには､スパコンを使っても天文学的な時間がかかるとか。”暗号の仕組み2”ブログもClick参照です。
　本来､この”旧その2”は､後の”その1”(全12話)や”その2”(全18話)とダブるので､省くべきなんですが。私がリーマンにのめり込むキッカケとなったおバカな記事です。記念として一応遺しときます。