｢前回｣では､序章でアイゼンシュタインの楕円関数論について簡単に紹介しましたが､例えで言えば､無限級数という扉を通じ､既知の三角関数と異世界の超越関数である楕円関数を繋げました。まるで､三角関数と楕円関数を行き来するパラレルワールド的な世界ですが､アイゼンシュタインの三角関数論の土台となるのが､アイゼンシュタイン数によるアイゼンシュタイン三角形の理論の構築でした。前回のおさらい 因みに､アイゼン . . . 本文を読む
初めに 今日紹介するアイゼンシュタインは､｢数学オリンピックに挑戦｣で紹介しただけですが､ガウスやディリクレに､リーマンやヤコビやクンマーらにも匹敵する､19世紀のドイツを代表する大数学者です。 彼(1823-1852)は､その短い生涯(29歳)において､整数論･楕円関数論などで偉大なる業績を挙げ､アイゼンシュタイン級数･相互法則･既約定理などにその名前が残っている。 特にガウスは､その才能を非常 . . . 本文を読む
前回｢その7｣に寄せられたコメントに､”類体とはなんぞや？”とあった。 確かに・・素朴な質問である。 その他のコメントには､”アーベル拡大＝類体と覚えとけば誤解はない”と返したが､厳密には”類体⊇アーベル拡大”となる。 当時､類体は特別な(有限次)アーベル拡大体と思われていたが､ヒルベルトは”類体は不分 . . . 本文を読む
数学でのアルキメデスの原理は｢アルキメデスの公理(又は性質)｣とも呼ばれ､”2つの実数aとbがある時に､bをある回数だけ足し合わせると､aを超える”というもので､無限の概念を扱う重要な公理とされる。 言い換えれば､”ある線分の長さを1とし､それを無限に分割すると､どんなに小さな線分も必ず存在する”事を意味する。これは､実数には極限が存在し､実数の連 . . . 本文を読む
昨年9月以来の高木貞治氏(1875-1960)の伝説とその時代ですが､前回｢その6｣までの計6話で､代数的整数論からイデアル論への流れを振り返り､高木氏の類体論(存在定理)に繋げました。 一方､代数的整数論の分野を1897年の論文｢数の報告｣で統一したヒルベルト(1862-1943)は､類体論に関する一連の予想(絶対類体)をたて､その結果は高木貞治による類対論の研究の後､1930年までに殆ど証明 . . . 本文を読む
前回｢その5｣では､ベルヌーイの｢大数の法則｣に加え､｢小数の法則｣を紹介しました。 前者はよく知られる現象でサイコロを無限数回振れば､各々の目が出る確率は1/6というもので､後者は”ある出来事の見込み率はその出来事の最近の発生率によリ上下する”という､ランダムさにも偏りがある事を示す。 特に後者は”ギャンブラーの誤謬”と呼ばれ､運が尽きた時に大当 . . . 本文を読む
”1つのリンゴを5等分し､それらを寄せ集め､ジグゾーパズルを組み立てる感覚で同じ形の同じ大きさのリンゴを2つ作り出すなんて・・何もないものから何かを作り出す様なもんでしょ？そんなバカな・・” 大学院生の1人が呟いた。 教授は”いいかい､これはよくある話なんだ。非可測集合や選択公理を用いる時にはよく起こる事で､これは定理としてちゃんと認められてるんだよ&rdqu . . . 本文を読む
前回｢その5｣では､ルベーグ積分のアイデアを再検証しましたが､リーマン積分では､x軸上の区間[0,1]をn個に分割し､n→∞とした時の微小区間dxとそれに対応するf(x)を掛けた長方形の面積f(x)dxを全て足し合わせ､面積を近似しました。 一方､ルベーグ積分では定義域[0,1]ではなく､値域の[0,∞)を分割する。この時､定義域[0,1]は不自然な形に分割され . . . 本文を読む
”ある男は分散攻撃という巧妙な戦術を思いついた。それは､滅多に人が踏み込まない地点に狙いを定めたのだが､不気味な荒涼たる谷間だった。ところが､まさに同一の戦術をビーバーが既に思いついていたし､選んだ地点も同じだった”(｢ルイス･キャロル詩集｣より) ｢眠れぬ夜の確率論｣の著者･原啓介氏は高校の頃に”人生には悩みは存在しない”との仮説を打ち立てる。社 . . . 本文を読む
前回｢その4｣では､”パスカルの賭け”を中心に述べましたが､39歳という短い生涯を”パスカルの原理”に基づくランダムネスの確率の計算に捧げただけでなく､確率論の中核をなす期待値の概念である”勝ち点問題”にも大きな影響を及ぼしました。 例えば､ワールドシリーズの7試合制での勝敗の不公平さや､少人数での閣議決定による誤謬と矛盾は . . . 本文を読む