リーマンの謎”3の8”〜素数の謎からリーマン予想へ

　1/13以来､約2ヶ月ぶりのリーマンの謎ですが､少し間が空いたので簡単に振り返ります。

　オイラー積を使い､素数の謎を解き明かしたオイラーですが､オイラー積の片方にはゼータ関数が眠ってました。
　このゼータ関数には全ての素数が1回ずつ参加してます。故に､ゼータ関数を研究する事で素数の謎が解明される事に､リーマンはいち早く気付いてました。
　そのゼータ関数ζ(s)をL関数(級数)に一般化したのはディリクレですが､そのゼータ関数を複素平面にまで押し広げたのはリーマンでした。
　リーマンはコーシーの留数定理を使い､複素解析(複素関数上での解析接続)を駆使する事で､ゼータ関数ζ(s)の零点(解)と極を求めようとしました。
　つまり､”素数の謎”を紐解くきっかけを作ったオイラー積､そして素数の謎を数式化したガウスの素数定理､そしてオイラーから受け継いだゼータ級数をディリクレがL関数と一般化し､リーマンが受け継いだゼータ関数。
　リーマンはゼータ関数の全ての零点(解)を明らかにすれば､素数の謎の多くが解けると見抜いてました。その為にリーマンが駆使したのが複素解析という特殊なトリックでした。そして､その中に偶然登場したのがリーマン予想という､未だ未解決の”リーマンの謎”。

　”3の1”から”3の4”までは､オイラーやガウスやディリクレに受け継がれた素数の謎について説明し､リーマンがその素数階段を登っていく様を描きました。
　しかし､素数の謎を解明する為にはリーマン予想の前に､素数定理を証明する過程を注意深く考察する事が必要でした。
　その素数定理の証明は今では様々に紹介されてますが､素数定理の簡潔化された証明として､タウバー型定理(ウィーナー=池永の定理)を使った手法を”3の5”と”3の6”と”3の7”の計3話を使って述べました。
　このタウバー型定理には､”対数微分”という言葉が出てきますが､この対数微分こそが､リーマンの(解析的)素数定理である明示公式を生み出す強力なツールとなりました。
　そして､その明示公式を生み出す過程で､”複素解析”や”留数定理”という見慣れない言葉も多く登場しました。

　今日は久しぶりなので､今までのややこしい事は忘れて､素数定理からリーマン予想に繋がる大まかな流れを振り返りたいと思います。
　

ゼータ関数の謎とその零点(解)と

　ガウスの素数定理π(x)~x/logxは､x(→∞)以下の個数を大まかに求めた数式でした。もし全てのxに対しπ(x)の値が判れば､素数の全てが判明します。故に､π(x)を求める事が現代の整数論の大きな目標の1つとなっています。
　しかし､任意のxに対しπ(x)を求めれる様な万能の公式は未だに存在しません。ただ､リーマンにより発見された(1859)､π(x)が誤差項のない完全な等式である”明示公式”が存在するだけです。
　故に､この明示公式に含まれるリーマンゼータ関数の零点(解)を用いればピタリと記述できるんですが。この零点が未解明である為､ゼータ関数の零点(リーマン予想)こそが今日の整数論の主な研究対象となっている。

　ゼータ関数の零点に関しては未だ多くの謎が残ってます。今知られてる事実は部分的な結果に過ぎず､それを明示公式に適用して得られた中間的な成果がガウスの素数定理であるπ(x)~x/logxでした。
　これはx以下の自然数が素数である確率がほぼ1/logxを示すので､より精密な形として､π(x)~Li(x)=∫[2,x]dt/logt､x→∞と表される。但し､Li(x)は対数積分関数。
　リーマンの素数定理である明示公式を生み出すには､ゼータ関数の対数微分”(logζ(s))’=ζ’(s)/ζ(s)”という強力なツールを使いました。

　因みに､オイラー積からリーマンの明示公式を生み出す複雑な過程は､リーマン”その5”と”その6”を参照です。オイラー積の対数微分は､”3の4”(素数階段)も参照です。　
　そこで､ζ(s)の零点(解)をa,b,c,...とすると､ζ(s)=(s−a)(s−b)(s−c)･･･となるより､この対数をとれば､logζ(s)=log(s−a)+log(s−b)+log(s−c)+･･･。この微分をとれば､(logζ(s))’=ζ’(s)/ζ(s)=1/(s−a)+1/(s−b)+1/(s−c)+･･･。
　ここで､ゼータ関数が零点(解)s=aを持つ時､対数微分は部分分数1/(s−a)を持ちますね。故に､ゼータの零点(解)は対数微分の極(発散)になってる事が判ります。
　例えば､s=aが2位の零点(ζ(s)=0の2重解)の時は､a=bとなるより､ζ(s)=(s−a)²･･･の形になり､対数微分はζ’(s)/ζ(s)=2/(s−a)+･･･となる。
　これより､ゼータの零点が重複度がいくつだろうが､対数微分の1位の極になり､重複度は1/(s−a)の係数､つまり”留数”(ここでは2)となる。
　また､ゼータ関数ζ(s)=∑ₙ[1,∞]1/nの極s=1は､上の重複度が2から−1に変わっただけで同様に対数微分の1位の極となり､留数は−1。この意味で極を”位数(重複度)が負の零点”とみなし､広い意味で零点の一種とみなす事が出来ます。

複素解析と留数定理

　リーマン予想に直結する素数定理と明示公式(素数公式)には､そのどちらもゼータ関数の解析接続を用います。
　その解析接続には､”コーシーの(複素)積分定理”を基本とする”複素解析”が不可欠です。そして､この複素解析を支える複素積分の肝となるのが”留数定理”です。
　因みにコーシーの定理とは､ある領域Dを囲む閉曲線Cに沿って複素関数fを積分する時､領域D内でfが常に正則であれば､その積分値は必ず0となる。
　式で示せば､∫f(z)dz=0と単純なものですが､Cが閉曲線であるから始点aと終点bが一致し､fの原始関数をFとすれば､∫f(z)dz=F(b)−F(a)=0となります。
　抽象的で聞き慣れない言葉ですが､言い換えれば”複素解析は留数定理の為にある”と言っても過言ではありません。故にリーマンが求めた素数定理(明示公式)にも､この留数定理とコーシーの積分定理がしばし登場します。
　簡単に言えば､ある関数fの極z=aにて留数Aが存在する時､その留数Aさえ判れば､孤立特異点(=極)aの周りを周回する積分”∫f(z)=2πiA”が導き出せるという事です。
　つまり､f(z)の周回積分の答えが､”2πiA”になるという見事なトリックです。
　リーマンの論文の中に､2πiを含む周回積分が数多く登場するのはその為ですね。

　しかし､このトリックを使うには､テイラー展開とローラン展開を､少し時間をかけて理解する必要があります。故に､ここで多くの人が頓挫するんですね。
　このテイラー展開は､オイラーが､”バーゼル問題”(1735)を解く大きな武器となった事は有名ですが､逆にテイラー展開がなかったらと思うと少しゾッとします。
　少し長くなったので､テイラー展開とローラン展開､そして留数定理に続く流れについては次回で詳しく述べようと思います。

｢数学の力｣と深リーマン予想

　今回は｢数学の力､高校数学で読みとくリーマン予想｣(小山信也著)を一部参考にしましたが､高校生でも結構なレベルでないとついていけませんね。
　”深リーマン予想”とは､リーマンゼータ関数が解析接続された後､あまり考えられてこなかった”オイラー積の絶対収束域外(臨海領域内)に関する予想”で､リーマン予想の精密化ともされてます。
　この本では､その強いリーマン予想である”深リーマン予想”を語る事で､リーマン予想の本質が浮かび上がらせてます。

　オイラー積とリーマンゼータ関数の強い繋がりに重点を置き､深リーマン予想によりオイラーのL関数L(s)=1/1ˢ−1/3ˢ+1/5ˢ−1/7ˢ+･･･が”Re(s)>1/2で(L(s)のオイラー積がs=1/2の時に√2L(1/2)に収束する様な)非零”と特定できる事から､臨界領域(0≤Re(s)≤1)におけるオイラー積の収束こそがリーマン予想をも含む強い命題になるとも語る。
　故にL(s)のオイラー積は､任意のα>1/2に対しRe(s)=αでL(s)に収束すると､リーマン予想を言い換える事が出来る。つまり､深リーマン予想こそがリーマン予想の一般化となる。
　更に､臨界線の場合を含め､オイラー積の数値計算結果が示され､深リーマン予想はかなり確からしい事が検証されている。

　オイラーが既に得ていた､Σₚ[p≤x]1/p=loglogx+O(1)を更に精密化したものが素数定理:π(x)~Li(x)=∫[2,x]dt/logtである。これはオイラー積が絶対収束するRe(s)=1上でζ(s)≠0が示される事で証明されます。
　また､チェビシェフの素数定理はψ(x)=θ(x)+O(√x)⇔π(x)~ψ(x)でしたが。もしリーマン予想が正しければ､π(x)=Li(x)+O(√x*logx)とψ(x)=x+O(√x*(logx)²)が成り立ち､深リーマン予想が正しければ､ψ(x)=x+O(√x*logx)が成り立つ(赤塚広隆)とされる。
　この様に､オイラー積の振る舞いが素数論を更に進展させ､素数定理の研究が歴史的に見て､上から下へと進展･深化している事が理解できます。

　著者のあとがきにある様に､この本を書いた理由が､”臨海領域内でのゼータ関数のオイラー積の対数微分を計算した所､零点付近でも特異な挙動が発見された。臨海領域内でもオイラー積の値に意味があるのだろうか”という､数理物理学者である木村太郎氏の質問だった。
　因みに､オイラー積”ζ(s)=∏ₚ(1−p⁻ˢ)⁻¹”の対数微分は､ζ’(s)/ζ(s)=−Σₚlogp/(pˢ−1)=−Σₙ[1,∞]Λ(n)/nˢ､Λ(n):マンゴルド関数です(”3の4”参照)。
　当時の数学界では､オイラー積を臨海領域内で考察する研究は行われてなかった。
　そこで小山氏は師である黒川重信教授に尋ねると､”1980年代に提唱されたゴルドフェルト予想に関連するものではないか”との答えだった。事実､当時の黒川氏も臨海領域内でのオイラー積を研究し､”深リーマン予想”を提起しつつあったのだ。

最後に〜数学には感性が不可欠だ

　上述した木村氏が､オイラー積の計算をした理由が､実はある物理学者からの要請にあったのだ。
　数学に変革をもたらす発見が物理学に端を発する事例は､数学史上には幾つかある。
　数学の持つ”第二の力”が数学的な風景の広がりを持つが､物理学などの他分野の力により数学的風景が新たに切り開かれ､逆に数学的な風景の広がりの中に他分野の本質が垣間見える。そんな相互作用こそが数学をより深いものにし､数学の価値を高める。
　研究者は､数学的風景の中に普遍性･万能性･真実の深みと重さを感じ取る。そこに悦楽とファンタジーを感じるのだろうか。

　”深リーマン予想を使えば､高校生でもリーマン予想を理解できるかもしれない”との思いからこの本を執筆したとされる。この深リーマン予想の明快さこそが､その本質を見事に言い当ててると言える。
　便利な生活を可能にする現代の最先端のテクノロジーを根底で支える学問である”数学の力”は､社会からの要請と言うよりも研究者を惹きつけてやまない学問そのものが持つ魅力である。
　数学が要請を受けて行う”後追いの学問”ではなく､まだ見ぬ新たな可能性を人類や社会にもたらす､真に貢献する学問である為に。　

　”数学には､人の感性による判断が不可欠です。完璧な論理によって証明される定理は､それに価値を見出せる人間の感性と合わさる事で､初めて数学と呼べるものになる。
　その根底にあるのが､良さ美しさを判断する感性であり､数学の論理が通った証明を美しいと感じるのとよく似ている。
　複素関数論が構築され､(信じ難い事に)数学的風景は現実の世界に記述される様になった。それは素晴らしい発展だったが､同時にそうした便利なものに頼りすぎて､人は数学的風景を見抜こうとする努力を怠りがちになってしまっているのかもしれない”と小山氏は熱く語る。

　次回”3の9”では､テイラー展開とローラン展開､そして留数定理に続く流れを詳しく説明する事にします。