リーマン予想と素数の謎と”１の７”(20/7/23更新)〜ゼータの完備化とコーシー列と実数の定義と

　”その1”を”1の7”の8話で終わるつもりでしたが。急遽､最後に完備化と素点のお話を加える事にしました。ここである程度突っ込んだ方が､後々楽になると思ったからです。
　この完備化と次回の”1の8”で述べるカントールの対角線論法は､数論では非常に重要な位置を占めますので､少し丁寧に説明します。

　さてと本題に入ります。
　”1の6”で触れた”完備ゼータ”ですが。paulサンから貴重なコメント頂いたので補足します。
　それと前にも言った様に､｢リーマン教授にインタビュする｣(小山信也著 青土社)を参考にしてます。縦書きですが､リーマンを学ぶにはオススメの一冊です。

完備化と有理数の収束と

　完備化とは､”(ゼータの)収束列の極限値を全て含む様に拡張する”事であると､前回”1の6”でも少し触れましたが､判り易く言えば全複素平面で収束するです。
　有理数体Qであるリーマンゼータを普通に拡張すれば､有理数体Qをはみ出し実数体Rに飛び出します。つまり､元々キレイな級数の和で表されるゼータ関数を普通に拡張すれば汚い級数になると。
　故に､無理数に収束する有理数列は実数では収束するのですが､有理数では収束しない。
　これは､√2に収束する数列{1,1.4,1.41,1.414,1.1412,,,,}を例に取ると判るんですが。
　この数列の全ての項は有理数体Qの元であるにも関わらず､極限値の√2のみがQの外にはみ出す(無理数)ので､有理数体Q内では完備ではない。よって､リーマンゼータを普通に拡張しても実数体Rになり､完備化出来ない。

　先程､収束する任意の数列の極限値を全て追加した､より広い集合を構成する事を”完備化する”と言いましたが。
　故に､実数体Rは有理数体Qの完備化として構成されます。そこで､収束有理数の極限を定義するのですが､上述した様に､√2に収束する有理数列は実数では収束するが､有理数内では収束しない。つまり､有理数の収束の定義が不完全なんです。

ゲオルク•カントールとコーシー列

　そこで､ロシア生まれの大数学者カントール(Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845〜1918)の登場です(イラスト右下)。
　1872年に彼は､収束有理数列を”コーシーの収束判定”を満たす有理数列に置き換え､実数を定義できる事を証明します。

　このコーシーの収束判定を満たす有理数列は”コーシー列”と言われ､”実数とは有利コーシー列の極限値である”と簡潔に定義され､今に至る。
　つまり､有理数列をコーシー列の様に有理数体上でも収束できる様に実数を定義した､リーマンに勝るとも劣らない凄い人です。
　因みにコーシー列とは､十分先の方で殆ど値が変化しなくなる(収束)有理数列です。判りやすく言えば､十分先にある任意の2元間の距離が限りなくゼロに近づく事ですね。
　上述した様に､コーシー列が全て収束する様な集合を”完備”とを言います。故に､”完備化=コーシー列の収束”という概念を頭に入れときましょう。

　前述した様に､有理数全体の集合Qの完備化とは､実数全体の集合Rでした。
　故に､実数とは有理数からなる収束列の極限点の事で､”全ての実数の集合は全ての極限点を含む”のですが。全ての極限点を含む様に､有理数全体の集合を広げる事こそが完備化なんです。何度もしつこいですが､とても大切な所ですね。
　そこで､収束列を正確に(都合よく)定義する為に､”収束列はコーシー列と同値である”というカントールの定理が必要だったんです。
　この”コーシー列(収束列)”の導入により､実数の定義を知らなくとも､有理数のみを使い､収束という概念を定義でき､実数の定義が可能になりました。
　言い換えれば､有理数の集合に対し､2つの数の距離をその差で定義し､その距離に関して完備化(収束化)したものが実数であると。カントールが登場する前は､実数の定義すら完全じゃなかったんです。

　故に､有理数体Qであるリーマンゼータを完備化しても､有理数体Qで定義できる。
　paulサンのコメントを借りれば､無理数を適当な所で打ち切って有理数とみなし､有理収束数列と見れば､コーシー列と一緒ヤンてとこですかね。つまり､前述した√2(無理数)の極限を途中で打ち切って､収束値とみなすと。
　結局､大暴れする淫乱な？ゼータ関数を収束させ､完備化すれば､こっちのモンよってとこか。

最後に　

　数学の世界では収束する事が基本なんですね。しかし現実世界では､発散する物事が殆どです。でも数学の世界では発散したら困るんです。定義も定理も法則も公式も全て成り立たなくなる。
　数学が世間外れの学問であるのは､こういう所からも来てんでしょうか。つまり､数学的に考えるという事は､恐ろしく捻くれてる事でもある。

　次々回の”p進絶対値”でも述べますが､現実世界と数学の世界があまりにもかけ離れてるんで､数学と音楽のセンスがない人は､全く混乱するでしょうか。でも慣れるしか他に方法はない。

　”天才とは99%の努力と1%の閃きだ”とエジソンは言いましたが。”数学も1%のセンスがなければ99%の努力は報われない”と言えるかもしれません。