「ホーキングさんが考えたこと・１３」でより具体的なホーキング放射のモデルを作る事ができましたので、離散的なホーキング放射のシミュレーションが可能になりました。
そうではありますが、ＢＨ質量が放射の量子性、離散性をを考量する必要がある前の段階では、従来の様な「古典的な連続放射モデル」がパフォーマンスに優れています。
それで以下、このシミュレーションモデルに従った場合の放射計算について述べていきます。
質量ＭのＢＨが単位時間に放射するエネルギーＥは従来はこのように書かれていました。
Ｅ＝σ・Ｔ^４＊４・Ｐｉ・Ｒｓ^２
Ｒｓは当該ＢＨのホライズン半径、σがシュテファン=ボルツマン定数でありＴは通常は熱力学温度ですが、ここにホーキング温度を代入します。
そして、σ・Ｔ^４の部分がStefan-Boltzmann の法則でありそれに放射体の表面積をかける事で全放出エネルギーＥが求まる、そのように想定しています。
それに対して、ホライズン上空に多層に重なる仮想粒子放出層を想定するのが今回のやり方になります。
一番下の層は従来通りの記述になります。
そこから微小距離Δｒだけ上に上がった放出層を考えます。
この層は上に上がった分だけ重力が弱まり、従ってその分ホーキング温度Ｔが下がる事になる、と言うのは前回の説明でした。
そうやってこうした放出層を何段にも積み重ねる事で、たとえばホライズン半径の２倍の地点にまで到達する事が可能です。
さてＮ番目の層までのＢＨ中心からの距離をｒとします。
このＮ番目の層の全放出エネルギーＥを考えます。
それはStefan-Boltzmann の法則に従ってＥｒ＝σ・Ｔｒ^４＊４・Ｐｉ・ｒ^２と書くことができます。
ここで必要になるのはＮ番目の層の温度Ｔｒの値です。
そこで思い出す必要がある事は、ホーキング温度Ｔはその場所の重力の強さに比例する、という関係です。
ＢＨ中心から距離ｒの位置の重力の強さＡｒはＡｒ＝Ｇ＊Ｍ/r^2となります。
そしてその場所の温度Ｔｒは比例定数Ｂを使って、Ｔｒ＝Ｂ＊Ａｒと書けます。
ホライズンでの温度をＴｓとし、その場所での重力の強さをＡｓとします。
ここでも当然Ｔｓ＝Ｂ＊Ａｓが成立しています。
そしてＡｓ＝Ｇ＊Ｍ/Rs^2です。
そうなりますとＡｒ/As=(G*M/r^2)/(G*M/Rs^2)=Rs^2/r^2.
Ａｒ＝Ａｓ＊（Rs^2/r^2）.
Ｔｒ＝Ａｒ＊Ｂ＝Ａｓ＊（Rs^2/r^2）＊Ｂ＝Ｔｓ＊（Rs^2/r^2）である事がわかります。
その結果は
Ｅｒ＝σ・Ｔr^４＊４・Ｐｉ・ｒ^２＝σ・（Ｔｓ＊（Rs^2/r^2））^４＊４・Ｐｉ・ｒ^２になります。
ここで変数ＸをＸ＝ｒ/Rsとして導入し、上記をＸを使って書き直します。
ｒ＝Ｘ・Ｒｓであることに注意して
Ｅｒ＝σ・Ｔｓ^４・(１/Ｘ^2)^４＊４・Ｐｉ・Ｒｓ^２＊（X^2).
この式の前半が温度に関する部分で後半が仮想粒子放出層の表面積になります。
ところで、一番下の層では発生した仮想粒子の片方は必ずホライズンに飛び込むのでした。
しかしながら実はホライズンの接平面方向に飛んだ場合に限って、この粒子ペアはＢＨに吸収される事はないのです。
まあそれはそれとして、ホライズンから少しでも上空に離れますと、仮想粒子生成点を頂点として、ＢＨホライズンに接線を引き、それをぐるっと一回しして出来上がる円錐の内部方向に発生した仮想粒子である場合のみ、ＢＨはそれを吸収する事が可能となります。
その円錐を外れますと、仮想粒子はＢＨに吸収されることなく消える、という事になります。
さてこの円錐の一回しした接線と円錐の中心線のなす角度をΘとしますとこの円錐の立体角ωは以下のようになります。
ω＝2π(1−cosθ)＜－－リンク
Ｎ番めの層を考えているので、その層までの距離はｒです。
そうして半径Ｒｓのホライズン球に対して距離ｒから接線を引き、円錐を作る事になります。
そうやってΘが決まりωを決める事が出来ます。
その状況全体を値Ｒｓで割る事で球の半径は１となり、距離ｒはＸとなりますが、Θとωの値は変わりません。
この状況でcosθはｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘとなる事は絵をかいて確認をお願いします。
最終的にωはω＝2π(1−cosθ)＝２・Ｐｉ・（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）となります。
仮想粒子はペアで反対方向に飛び去る事を考慮してＢＨに飛び込める有効な粒子の割合はこの立体角を２・Ｐｉで割った値になります。
これが粒子発生を想定する球の表面積にかかる補正係数となりますから、Ｎ番めの層の表面積は最終的に
４・Ｐｉ・Ｒｓ＾２＊（X^2)ーー＞４・Ｐｉ・Ｒｓ^２＊（X^2)＊（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）
に変わります。
以上からＥｒは
Ｅｒ＝σ・Ｔｓ＾４・(１/Ｘ^2)＾４＊４・Ｐｉ・Ｒｓ^２＊（X^2)＊（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）
↑＝σ・Ｔｓ＾４＊４・Ｐｉ・Ｒｓ^２＊(１/Ｘ^2)＾４＊（X^2)＊（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）
↑＝σ・Ｔｓ＾４＊４・Ｐｉ・Ｒｓ^２＊(１/Ｘ^６)＊（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）
↑＝Ｅｓ＊(１/Ｘ^６)＊（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）
こうして一番下の層、それは従来は全放出エネルギーを表す、とされていたものですがそれに所定の補正値をかける事でＮ番めの層の放出エネルギーを表す事が出来ます。
さて、それぞれの層の厚さはΔｒとしましたがこれもＲｓで割る事によりΔｘとなり、あとはこの層を足し合わせる、積分すれば補正値が求まる、という事になります。
「ホーキングさんが考えたこと・１３」で示しました様に、ホライズン上空に２倍のホライズン半径にあたる距離までの放出層を考えればまずは十分であろうとしました。
ここでWolfram|Alphaさんの出番です。＜－－リンク
「微積分と解析 」を選んで「定積分」に行きましょう。
クリックすると何やら出てきます。
積分範囲と式(１/Ｘ^６)（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）を入力（コピペ）しましょう。
少々苦労するやもしれませんが、頑張ってみて下さい。
積分範囲１から２では ０．１０１２４
積分範囲１から３では ０．１０１７９
積分範囲１から無限では ０．１０１８３
積分は発散ぜず、ホライズンからホライズン半径の２倍、Ｘ＝３まで層を積み重ねれば十分である事が分かります。
従来方法ではＥｓ＝σ・Ｔｓ^４＊４・Ｐｉ・Ｒｓ^２が単位時間当たりＢＨが放出する全放出エネルギーである、とされていました。
提案方法では補正係数０．１０１７９を掛けたＥ＝０．１０１７９＊Ｅｓが妥当であろう、という事になります。
こうして、ＢＨの寿命は従来の約１０倍にのびる事になった、とそういうお話であります。
注１
しかしながら、いずれにしましてもホーキング温度Ｔが熱力学温度Ｔと同等である、という証明はなされておりません。
そうでありますから、相対比較はこうして可能にはなりましたが、絶対値としての寿命はどうなんだ、という事については、「ＢＨの放射を実測せよ」、あるいは「ほかの方法でホーキング温度Ｔが熱力学温度Ｔと同等である事を証明せよ」が答えになるかと思われます。
↑
観測ロボットさんへ
ホライズン上のホーキング放射強さを１．０としたときＸ＝１．１では０．３２９、Ｘ＝１．２では０．１５０、Ｘ＝１．２５では０．１０５、Ｘ＝１．５では０．０２２４となります。
上記の計算結果からわかる様に「ホーキング放射の起きている現場」はホライズンすれすれの所だけではなく、例えばホライズン上空の距離がＸ＝１．２５という場所でも放射現象は起きておりそれを観測するのはそれほどに「命がけ」という事でもない、ということであります。
ちなみにＢＨの発光の様式、空間発光でしかも指向性を持つような発光体と言うものは人類は今までに遭遇した事が無く、非常に特異的な発光パターンが観測できると予測されます。
それはホライズン中心部からはとても強い光のビームが出ている、それはまるでこちらに照準を合わせているかの様にも見えますが、それに対してホライズン周辺部からはあまり光が出てこない、そういう特異的なパターンを示しますので、まず見間違うという事は起こらないと予想できますので、以上の事をご確認の上測定をされますようによろしくお願いします。
注２
Wolframで１から１．０００１を積分範囲として指定し、実行して「積分の視覚的表現」を見てみると、それぐらいホライズンに近くて薄い層を指定すれば「補正係数は１と出来る」という事が一目瞭然、とても良く分かります。
そしてそれがホーキングさんが世界で最初に見た状況であると思われます。
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧＜－－リンク
ＰＳ
イチロウが引退したみたいだ。
少しショックだけれど「お疲れさん」のコトバを贈りましょう。
http://archive.fo/HSFGo
http://archive.fo/xxTHm
そうではありますが、ＢＨ質量が放射の量子性、離散性をを考量する必要がある前の段階では、従来の様な「古典的な連続放射モデル」がパフォーマンスに優れています。
それで以下、このシミュレーションモデルに従った場合の放射計算について述べていきます。
質量ＭのＢＨが単位時間に放射するエネルギーＥは従来はこのように書かれていました。
Ｅ＝σ・Ｔ^４＊４・Ｐｉ・Ｒｓ^２
Ｒｓは当該ＢＨのホライズン半径、σがシュテファン=ボルツマン定数でありＴは通常は熱力学温度ですが、ここにホーキング温度を代入します。
そして、σ・Ｔ^４の部分がStefan-Boltzmann の法則でありそれに放射体の表面積をかける事で全放出エネルギーＥが求まる、そのように想定しています。
それに対して、ホライズン上空に多層に重なる仮想粒子放出層を想定するのが今回のやり方になります。
一番下の層は従来通りの記述になります。
そこから微小距離Δｒだけ上に上がった放出層を考えます。
この層は上に上がった分だけ重力が弱まり、従ってその分ホーキング温度Ｔが下がる事になる、と言うのは前回の説明でした。
そうやってこうした放出層を何段にも積み重ねる事で、たとえばホライズン半径の２倍の地点にまで到達する事が可能です。
さてＮ番目の層までのＢＨ中心からの距離をｒとします。
このＮ番目の層の全放出エネルギーＥを考えます。
それはStefan-Boltzmann の法則に従ってＥｒ＝σ・Ｔｒ^４＊４・Ｐｉ・ｒ^２と書くことができます。
ここで必要になるのはＮ番目の層の温度Ｔｒの値です。
そこで思い出す必要がある事は、ホーキング温度Ｔはその場所の重力の強さに比例する、という関係です。
ＢＨ中心から距離ｒの位置の重力の強さＡｒはＡｒ＝Ｇ＊Ｍ/r^2となります。
そしてその場所の温度Ｔｒは比例定数Ｂを使って、Ｔｒ＝Ｂ＊Ａｒと書けます。
ホライズンでの温度をＴｓとし、その場所での重力の強さをＡｓとします。
ここでも当然Ｔｓ＝Ｂ＊Ａｓが成立しています。
そしてＡｓ＝Ｇ＊Ｍ/Rs^2です。
そうなりますとＡｒ/As=(G*M/r^2)/(G*M/Rs^2)=Rs^2/r^2.
Ａｒ＝Ａｓ＊（Rs^2/r^2）.
Ｔｒ＝Ａｒ＊Ｂ＝Ａｓ＊（Rs^2/r^2）＊Ｂ＝Ｔｓ＊（Rs^2/r^2）である事がわかります。
その結果は
Ｅｒ＝σ・Ｔr^４＊４・Ｐｉ・ｒ^２＝σ・（Ｔｓ＊（Rs^2/r^2））^４＊４・Ｐｉ・ｒ^２になります。
ここで変数ＸをＸ＝ｒ/Rsとして導入し、上記をＸを使って書き直します。
ｒ＝Ｘ・Ｒｓであることに注意して
Ｅｒ＝σ・Ｔｓ^４・(１/Ｘ^2)^４＊４・Ｐｉ・Ｒｓ^２＊（X^2).
この式の前半が温度に関する部分で後半が仮想粒子放出層の表面積になります。
ところで、一番下の層では発生した仮想粒子の片方は必ずホライズンに飛び込むのでした。
しかしながら実はホライズンの接平面方向に飛んだ場合に限って、この粒子ペアはＢＨに吸収される事はないのです。
まあそれはそれとして、ホライズンから少しでも上空に離れますと、仮想粒子生成点を頂点として、ＢＨホライズンに接線を引き、それをぐるっと一回しして出来上がる円錐の内部方向に発生した仮想粒子である場合のみ、ＢＨはそれを吸収する事が可能となります。
その円錐を外れますと、仮想粒子はＢＨに吸収されることなく消える、という事になります。
さてこの円錐の一回しした接線と円錐の中心線のなす角度をΘとしますとこの円錐の立体角ωは以下のようになります。
ω＝2π(1−cosθ)＜－－リンク
Ｎ番めの層を考えているので、その層までの距離はｒです。
そうして半径Ｒｓのホライズン球に対して距離ｒから接線を引き、円錐を作る事になります。
そうやってΘが決まりωを決める事が出来ます。
その状況全体を値Ｒｓで割る事で球の半径は１となり、距離ｒはＸとなりますが、Θとωの値は変わりません。
この状況でcosθはｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘとなる事は絵をかいて確認をお願いします。
最終的にωはω＝2π(1−cosθ)＝２・Ｐｉ・（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）となります。
仮想粒子はペアで反対方向に飛び去る事を考慮してＢＨに飛び込める有効な粒子の割合はこの立体角を２・Ｐｉで割った値になります。
これが粒子発生を想定する球の表面積にかかる補正係数となりますから、Ｎ番めの層の表面積は最終的に
４・Ｐｉ・Ｒｓ＾２＊（X^2)ーー＞４・Ｐｉ・Ｒｓ^２＊（X^2)＊（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）
に変わります。
以上からＥｒは
Ｅｒ＝σ・Ｔｓ＾４・(１/Ｘ^2)＾４＊４・Ｐｉ・Ｒｓ^２＊（X^2)＊（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）
↑＝σ・Ｔｓ＾４＊４・Ｐｉ・Ｒｓ^２＊(１/Ｘ^2)＾４＊（X^2)＊（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）
↑＝σ・Ｔｓ＾４＊４・Ｐｉ・Ｒｓ^２＊(１/Ｘ^６)＊（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）
↑＝Ｅｓ＊(１/Ｘ^６)＊（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）
こうして一番下の層、それは従来は全放出エネルギーを表す、とされていたものですがそれに所定の補正値をかける事でＮ番めの層の放出エネルギーを表す事が出来ます。
さて、それぞれの層の厚さはΔｒとしましたがこれもＲｓで割る事によりΔｘとなり、あとはこの層を足し合わせる、積分すれば補正値が求まる、という事になります。
「ホーキングさんが考えたこと・１３」で示しました様に、ホライズン上空に２倍のホライズン半径にあたる距離までの放出層を考えればまずは十分であろうとしました。
ここでWolfram|Alphaさんの出番です。＜－－リンク
「微積分と解析 」を選んで「定積分」に行きましょう。
クリックすると何やら出てきます。
積分範囲と式(１/Ｘ^６)（１－ｓｑｒｔ（Ｘ^２－１）／Ｘ）を入力（コピペ）しましょう。
少々苦労するやもしれませんが、頑張ってみて下さい。
積分範囲１から２では ０．１０１２４
積分範囲１から３では ０．１０１７９
積分範囲１から無限では ０．１０１８３
積分は発散ぜず、ホライズンからホライズン半径の２倍、Ｘ＝３まで層を積み重ねれば十分である事が分かります。
従来方法ではＥｓ＝σ・Ｔｓ^４＊４・Ｐｉ・Ｒｓ^２が単位時間当たりＢＨが放出する全放出エネルギーである、とされていました。
提案方法では補正係数０．１０１７９を掛けたＥ＝０．１０１７９＊Ｅｓが妥当であろう、という事になります。
こうして、ＢＨの寿命は従来の約１０倍にのびる事になった、とそういうお話であります。
注１
しかしながら、いずれにしましてもホーキング温度Ｔが熱力学温度Ｔと同等である、という証明はなされておりません。
そうでありますから、相対比較はこうして可能にはなりましたが、絶対値としての寿命はどうなんだ、という事については、「ＢＨの放射を実測せよ」、あるいは「ほかの方法でホーキング温度Ｔが熱力学温度Ｔと同等である事を証明せよ」が答えになるかと思われます。
↑
観測ロボットさんへ
ホライズン上のホーキング放射強さを１．０としたときＸ＝１．１では０．３２９、Ｘ＝１．２では０．１５０、Ｘ＝１．２５では０．１０５、Ｘ＝１．５では０．０２２４となります。
上記の計算結果からわかる様に「ホーキング放射の起きている現場」はホライズンすれすれの所だけではなく、例えばホライズン上空の距離がＸ＝１．２５という場所でも放射現象は起きておりそれを観測するのはそれほどに「命がけ」という事でもない、ということであります。
ちなみにＢＨの発光の様式、空間発光でしかも指向性を持つような発光体と言うものは人類は今までに遭遇した事が無く、非常に特異的な発光パターンが観測できると予測されます。
それはホライズン中心部からはとても強い光のビームが出ている、それはまるでこちらに照準を合わせているかの様にも見えますが、それに対してホライズン周辺部からはあまり光が出てこない、そういう特異的なパターンを示しますので、まず見間違うという事は起こらないと予想できますので、以上の事をご確認の上測定をされますようによろしくお願いします。
注２
Wolframで１から１．０００１を積分範囲として指定し、実行して「積分の視覚的表現」を見てみると、それぐらいホライズンに近くて薄い層を指定すれば「補正係数は１と出来る」という事が一目瞭然、とても良く分かります。
そしてそれがホーキングさんが世界で最初に見た状況であると思われます。
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧＜－－リンク
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イチロウが引退したみたいだ。
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