続・作図問題

３月４日の記事で、３本の平行線にそれぞれ頂点を持つ正三角形の作図法を書いたが、もっと簡単にできることに気づいた。これは以下の原理による。

下図は前回の記事の第３段階までの一部を拡大したもの。

Ｃから引いた垂線と直線ｌ（下の線）との交点をＦとし、Ａと結ぶ（下図）。

△ＡＢＦと△ＡＣＦで、ＡＢ＝ＡＦ，∠ＡＢＦ＝∠ＡＣＦ＝直角、ＡＦ＝ＡＦなので △ＡＢＦ≡△ＡＣＦ
（∵直角三角形の斜辺と１辺が等しい）

よって　∠ＢＡＦ＝∠ＣＡＦ
∠ＢＡＣ＝６０°だから　∠ＢＡＦ＝∠ＣＡＦ＝３０°　
△ＡＣＦで∠ＡＦＣ＝６０°　・・・（１）

ＦＣをＣ方向に延長し、直線ｋ（上の線）との交点をＧとする。

∠ＢＡＦ＝３０°だから　∠ＦＡＧ＝６０°　・・・（２）

（１）（２）より△ＡＦＧは正三角形。

つまり、ＡＣを作図したりＣから垂線を引いたりしなくても、正三角形ＡＦＧを作図すれば、点Ｄ（前回の記事を参照）を作図できる。