等式の証明

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

先日、高２の塾生が等式の証明問題に取り組んでいました。

そこで、手元の公式集を開いてみると、等式Ａ＝Ｂの証明の要領として、
（１）左辺（右辺）を変形して右辺（左辺）を導く
（２）左辺、右辺をそれぞれ変形して同一の式を導く
（３）両辺の差Ａ－Ｂ＝０を示す
が挙げてあり、さらに、与えられた条件（等式）のもとで、Ａ＝Ｂを証明する要領として、例えばＣ＝０という条件のとき、
（４）Ａ－Ｂを因数分解して、Ｃという因数のあることを示す
等々、とあります。

今回は（４）の要領に従う等式の証明問題を取り上げます。

問題は、
「

ならば、

が成り立つことを示せ」
です。

結論の等式の左辺と右辺を展開し、与えられた条件式を使って、左辺＝右辺を示すこともできそうですが、ここは次のように進めるのがスマートでしょう。

まず、条件式から

が成り立ちます。

ここで、

とおくと、条件式は、

になります。

一方、結論の等式の左辺と右辺をＡ、Ｂ、Ｃで表して（左辺）－（右辺）を作り、それを因数分解すると、

になり、上手く（左辺）－（右辺）＝０ を示すことができました。

いろいろな問題に挑戦してみと良いでしょう。