サイドタ！！ ７月１２日の解答です。

７月１２日のブログから、
問題：ＪＩＳサイコロ２個振ったとき出るぞろ目の確率と各目の出る確率が違う
　　　サイドタサイコロ２個振ったとき出るぞろ目の確率を比べたとき、ぞろ目が
　　　出る確率はどちらのサイコロの方が大きいでしょうか？
　解答：サイドタのサイコロの方がぞろ目が出る確率は高い。
　　　　 不思議ですよね！！

　この解説です（遅くなりました）。

まず、
　　　　 ・ＪＩＳサイコロの各目の出る確率は
　　　　　　　　ａ1＋ａ2＋ａ3＋ａ4＋ａ5＋ａ6＝１
　　　　　　　　ａ1＝ａ2＝・・・・・・・＝ａ6=1/6
　　　　・サイドタサイコロの各目の出る確率は
　　　　　　　　ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋ｂ4＋ｂ5＋ｂ6＝１　とおきます。
　　　すると、 　　　　
　　　・ＪＩＳサイコロのぞろ目の出る確率は
　　　　Ｐ＝ａ1＾2＋ａ2＾2＋・・・・ａ6＾2＝1/6
　　　・サイドタサイコロのぞろ目の出る確率は
　　　　Ｑ＝ｂ1＾2＋ｂ2＾2；・・・・・・・ｂ6＾2
　　　
　　ここで
　　　コーシーシュワルツの不等式を用いる
　　　（ａ1＾2＋ａ2＾2＋・・・・ａ6＾2）（ｂ1＾2＋ｂ2＾2・・・・・・ｂ6＾2）
　　　　　　＞＝（ａ1ｂ1+ａ2ｂ2+・・・・・ａ6ｂ6）＾2
　　　　　　　　　　　　　　　　＜今回は等号にはならない＞
　　　・ゆえに
　　　　　　Ｐ・Ｑ＞（ａ1ｂ1+ａ2ｂ2+・・・・・+ａ6ｂ6）＾２
　　　　　　Ｐ・Ｑ＞（1/6）＾2・（ｂ1＋ｂ2+・・・・ｂ6）＾2
　　　　　　Ｐ・Ｑ＞（1/6）＾2
　　　　　　Ｑ＞（1/6）＾2÷Ｐ
　　　　　　Ｑ＞１／６
　　　　　　証明終わり■

　数学を大学で教えている先生の友達から
　コーシーシュワルツの不等式を思いつかいない人は
　次の恒等式を利用するといいと、。さすがにプロですね。

　（ｂ1＾2＋…＋ｂ6＾2）
　＝（ｂ1－ａ1）＾2＋…＋（ｂ1－ａ6）＾2
　　＋２（ａ1ｂ1＋…＋ａ6ｂ6）－（ａ1＾2＋…＋ａ6＾2）

　これは
　　左辺＝Ｑ、
　　右辺＝（ｂ1－ａ1）＾2＋…＋（ｂ1－ａ6）＾2＋2・1/6・１－1/6
　　　　　＝（ｂ1－ａ1）＾2＋…＋（ｂ1－ａ6）＾2＋1/6
　　　　　＞１／６　
　　証明終わり■