ヒルベルト空間３ ～ヒルベルト空間である必要十分条件

２０２３年１１月３日（金）

 

　ヒルベルト・ノイマンの定理は、実数R上または複素数C上のノルム空間において中線定理が成立す

ることが内積空間になる必要十分条件であると主張している。このことから、ベクトル空間Vがバナッ

ハ空間であるならば、Vは必然的にヒルベルト空間となる。このことから、Vがヒルベルト空間である

必要十分条件として、①Vはバナッハ空間（完備なノルム空間）である、②中線定理が成立するとおき

かえていいであろう。

　本ブログでは、このヒルベルト・ノイマンの定理の証明は省略させていただいた。後述する古田孝之

氏の著書を参照にしていただきたい。

 

　関数解析学は，よく無限次元の線形代数と言われることがある。本文でも触れたが、本ブログが参考

にした

　　　古田孝之『線形作用素への誘い　行列からヒルベルト空間上への有界線形作用素へ』

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（培風館、2001.0405 初版）

は、ヒルベルト空間についてもいい入門書・参考書になっていると思う。

 

 

　本文２枚目の例題２に登場するL²空間（L²[0,1]と表す）はヒルベルト空間の例であり、量子力学では

重要な役割を果たす。

 

 

 

ちょっと休息　　来週は、忙しい日々

　来週の8日（水）から放送大学2学期の通信指導課題のＷｅｂからの提出が始まる。私は、9日に

提出したいと考えている。来週は、予定が詰まっているので効率よく振る舞いたい。

　１０月　８日（月）　８時３０分頃　　　　　　　理髪店へ

　１０月　９日（火）　９時頃から１４時近く　　　岐阜学習センター　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　通信課題の問題を解く

　１０月１０日（水）　８時２０分頃から午前中　　人間ドック

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　海津市医師会病院

　　　　　　　　　　　午後１４時頃　　　　　　　通信指導課題の提出(Ｗｅｂにて)

　１０月１１日（木）　９時３０分から１１時まで　セミナー『百人一首の世界』に参加

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　小川陽子先生　zoomによるオンライン

　なお、放送大学の通信指導課題の提出期間は、Ｗｅｂの場合１１月８日から１１月２９日まで

である。なにがあるかわからないので単位認定試験も同様であるが、いつも早めに提出すること

にしている。

基本対称式

２０２３年１１月１日（水）

 

　対称式は、高校数学で数学１・数学Ⅱの「数と式」「式と証明」の単元などで登場してくる。とりわけ、

２次方程式や３次方程式の解と係数の関係においては、基本対称式が重要な役割を果たす。

　２次方程式　ax²+bx+c=0において、解α、βについて

　　　　　α＋β＝－b/a　　　αβ＝ｃ/a　

であり、３次方程式　ax³＋bx²+cx+d=0において、解α、β、γについて

　　　　　α＋β＋γ＝－b/a　　　αβ＋β γ＋γ α＝ｃ/a　　　αβγ＝－ｄ/a

である。 ２次方程式や３次方程式の係数が，基本対称式で表すことができるわけである。

　また、対称式

　　　　　α⁴＋β⁴

は、次のように基本対称式で表すことができる。

　　　　　α⁴＋β⁴＝(α ²＋β ²)²－2(αβ)²

                              ＝｛(α ＋β )²－2(αβ)}² －2(αβ)²

                              ＝(α ＋β)⁴－4 αβ (α ＋β )²＋2(αβ)²

　一般にすべての対称式が、基本対称式で表すことができる。このことの証明は、ここではとりあげないこと

とする。