微分方程式についての思い ～放送大学印刷教材『微分方程式'23』を購入する

２０２３年９月２２日（金）

 

　９月２０日のFacebookに、amazonに注文してあった本が到着した感想を書いた。若干見やすくして

それをここにそのまま転写したい。

 

・・・・・・・・・２０２３年９月２０日のFacebook投稿より・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　amazonに注文してあった放送大学の印刷教材の新品、

　　　　石崎克也著『微分方程式'23』(一般財団法人　放送大学教育振興会、2023.0320 初版）

が到着しました。昨日の午後に注文して、もう今日に郵送されてきました。

　私が印刷教材を入手する方法は、ふつうメルカリで中古本を安く購入することです。新品の場合は学

習センター経由で注文すると１割引になりますので、そのように入手する場合もあります。今回の『微

分方程式'23』は受講者が少なく、今年度からの開講科目であることもあって、めったにメルカリに中古

本が出品されることはありません。また、学習センター経由では申し込みと受け取りにセンターまで出

かけなければなりません。自分が受講しない印刷教材を新品で購入したのは、マーサ２１の丸善での

『樋口一葉の世界'23』に続いて今年度２冊目です。

　微分方程式は、岐阜聖徳学園大学教育学部等で授業を受講したことがあります。私自身は得意な方です。

何冊か関連本を持っています。ただ、所持している本が理論面での論究が中心で、実際に解法する演習中

心の本は１冊しかありません。今回の放送大学の印刷教材の『微分方程式'23』は、良く整理されている教

材のように思えました。今年の開講科目ですので、数年間わからないところはインターネット配信から聴

講できます。じっくり読んでいこうと思っています。

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　微分方程式は、遙か昔の私の高校時代に数学Ⅲの教材にあった。そのとき習ったのは、

（１）例えば

　　　　　　　yy'=x²

　のような、すぐ積分によって解が求まるような場合（注１）

（２）例えば

　　　　　　　2x(dy/dx)－y²＋１＝０

のような、変数分離形によって解が求まるような場合（注２）

に限られていた。ともに、それほど難しくない内容であった。ただ、当時は変数分離形で微分方程式を解く

途中で出てくる

　　　　　　　f(x)dx      ｇ(y)dy

との表現の意味がわからなかった。形式な扱いという説明であった。

　現代の高校数学では、微分方程式は教材になっていない。微分方程式が高校数学から外れてから久しくな

る。ただ、数研出版の数学Ⅲの教科書では｢発展問題」のひとつとして、微分方程式について触れている。少

し長くなるが、引用しておこう。

 

数研出版教科書『数学Ⅲ』より引用

 

　次に、参照までに購入した石崎克也著『微分方程式'23』の第１５講までの各講のタイトルを挙げておこう。

これを見れば、この本がどのような内容で微分方程式を扱っているのか、また放送大学でのこの授業の講義が

どのように進められるのか、推察できるであろう。

 

　　第　１講　微分方程式　　　　　　　　　　　　　　　第　９講　連立微分方程式

　　第　２講　変数分離形　　　　　　　　　　　　　　　第１０講　級数解法

　　第　３講　１階線形微分方程式　　　　　　　　　　　第１１講　ラプラス変換

　　第　４講　完全微分方程式　　　　　　　　　　　　　第１２講　フーエエ級数

　　第　５講　数理モデル　　　　　　　　　　　　　　　第１３講　線形偏微分方程式　

　　第　６講　高階線形微分方程式　　　　　　　　　　　第１４講　積分変換の応用

　　第　７講　２階線形微分方程式　　　　　　　　　　　第１５講　解の存在定理

　　第　８講　定数係数線形微分方程式

 

（注１）

　　（y²)'＝2yy'  であるから、2yy'＝2x²とする。

　　　　2yy'＝2x² 　⇒　∫ 2yy'dx＝∫ 2x²dx    ⇒　y²＝(2/3) x³＋C

（注２）

　　　2x(dy/dx)－y²＋１＝０　⇒　(dy/dx)＝(y²－１)/2x　⇒　2/(y²－１)・dy＝1/x・dx　

　　⇒　∫ 2/(y²－１)・dy＝∫ 1/x・dx　

　　　ここで、

　　　　左辺＝∫ 2/(y²－１)・dy＝∫ {1/(y － 1)－1/(y ＋ 1)}dy＝log| y － 1|－log| y + 1|＝log | y － 1|/| y + 1|

　　　　右辺＝∫ 1/x・dx＝log |x|

      である。   したがって、次が成立する。

　　　　　log | y － 1|/| y + 1|＝log x＋C_1　⇒　(y － 1)/(y ＋ 1)＝(±e^ C_1)x 　⇒ (y － 1)/(y ＋ 1)＝Cx

        　ここに、±e^ C_1＝Cとおく。

　　　　　　　　　　　ｙ＝(1＋Cx)/(1－Cx)　　C≠0

　　　※　赤字の部分の変形が、変数分離形の基本である。

　　　　　ここに載せた問題・解法は、石崎克也著『微分方程式'23』の本文にあった記述から引用したもので

　　　　ある。

 

 

 

 

ちょっと休息　　９月２１日のFacebook投稿より

　オミクロン株XBB.1.5対応ワクチンの接種案内が、海津市から郵送されてきました。そこで、WEB上から１０月

４日１３時４０分に海津医師会病院で接種する予約をしました。

　ファイザー社製のワクチンになります。前回の６回目の接種が６月１３日でしたので、約４ヶ月ぶりになります。

 

インフルエンザの予防接種と同時でもいいということですので、こちらも考えたいと思います。

 

　基礎疾患がありますので、早いほうがいいとの判断です。