算額（その857）
二十二 岩手県一関市瑞山 駒形根神社 明治41年(1908)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市. http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
長方形の中に 2 本の弦と大円 1 個，小円 2 個を入れる。大円の直径が 1 寸のとき，小円の直径を求める術を述べよ。
長方形の長辺と短辺を 2a, b
大円の半径と中心座標を r1, (0, r1)
小円の半径と中心座標を r2, (a - r2, b - r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。
なお，分析結果からいうと，「大円の直径が 1 寸」という条件だけでは不足である。r1 が一定でも，a の値により小円の直径は変わる。つまり，この図形を決めるためには，大円の直径と長方形の長辺の両方が必要である。
include("julia-source.txt");
using SymPy
@syms a::positive, b::positive, r1::positive, r2::positive, d::positive
eq1 = dist(a, 0, 0, b, 0, r1) - r1^2
eq1 = numerator(apart(eq1, d))
eq2 = dist(a, 0, 0, b, a - r2, b - r2) - r2^2
eq2 = numerator(apart(eq2, d))
res = solve([eq1, eq2], (b, r2))
2-element Vector{Tuple{Sym{PyCall.PyObject}, Sym{PyCall.PyObject}}}:
(2*a^2*r1/((a - r1)*(a + r1)), a^2/(a - r1))
(2*a^2*r1/((a - r1)*(a + r1)), a*r1/(a + r1))
2 組の解が得られるが，2 番目のものが適解である。
大円の直径が 1 寸で，長方形の長辺の長さが 2 寸のとき，小円の直径は 2/3 寸である。
r1 = 1/2 # 2r1 = 1
a = 1 # 2a = 2
2(a*r1/(a + r1))
0.6666666666666666
図に示すように，r1 が一定でも a が大きくなるにつれて r2 も大きくなり，0.5 に収束する。つまり，r2 の最大値は r1 で，小円の直径は大円の直径に近づいていく。
f = res[2][2](r1 => 1//2)
f |> println
a/(2*(a + 1/2))
pyplot(size=(500, 300), showaxis=true, grid=false, aspectratio=:none, label="", fontfamily="IPAMincho")
plot(f, xlims=(0.6, 100), xlabel="a", ylabel="r2")
算額には「術」は書かれておらず，「答曰小円径六分〇九毛有奇」とのみある。山村は「図面は誤り。実証図はもっと大きい。」と書いているが，大円の直径に近づくとは気づいていない。
function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), showaxis=true, grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r1 = 1//2
a = 1
(b, r2) = (2*a^2*r1/(a^2 - r1^2), a*r1/(a + r1))
@printf("小円の直径 = %g\n", 2r2)
@printf("r1 = %g; a = %g; b = %g; r2 = %g\n", r1, a, b, r2)
plot([a, a, -a, -a, a], [0, b, b, 0, 0], color=:blue)
circle(0, r1, r1)
circle2(a - r2, b - r2, r2, :green)
plot!([-a, 0, a], [0, b, 0], color=:orange, lw=0.5)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(a, 0, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(0, b, " b", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
point(0, r1, "大円:r1,(0,r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(a - r2, b - r2, "小円:r2\n(a-r2,b-r2)", :green, :center, delta=-delta/2)
point(a, b - 2.1r2, @sprintf("r1=1/2,a=%g ", a), :black, :right, mark=false)
end
end;
