算額（その894）

算額（その894）

七二 加須市大字外野 棘脱地蔵堂 明治7年(1874)

埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

外円内に 8 個の円を入れる。外円の直径が 55 寸のとき，甲円の直径はいかほどか。

注：外円内には 8 個の円が入っているとしか言っていないが，上下の 2 個（緑，甲円と呼んでいるもの）と左右の 4 個（マゼンタ，多分乙円だろうが）は大きさが違う。青円には名前がついていないが，大円と呼んでおく。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
大円の半径と中心座標を r1, (0, R - r1), (0, r1 - R)
甲円の半径と中心座標を r2, (0, R - r2), (0, r2 - R)
乙円の半径と中心座標を r3, (x2, y3)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, r2::positive, r3::positive, x3::positive
eq1 = r1 + r2 - R
eq2 = x3^2 + r3^2 - (R - r3)^2
eq3 = x3^2 + (R - r2 - r3)^2 - (r2 + r3)^2
eq4 = x3^2 + (r3 - r1 + R)^2 - (r1 + r3)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (r1, r2, r3, x3))[1]

   (R*(-1 + sqrt(5))/2, R*(3 - sqrt(5))/2, R*(-1 + sqrt(5))/4, R*(-1/2 + sqrt(5)/2))

甲円（上下の小さい方の 2️ 円）の半径 r2 は，外円の半径 R の (3 - √5)/2 倍である。
外円の直径が 55 寸のとき，甲円の直径は 55*(3 - √5)/2 = 21.00813061875578 寸である。

算額では「答曰甲円貳拾四寸有奇」とあるが，「貳拾四寸」は「貳拾一寸」の誤記である。
術は「置五个開平方以減三余乗半」つまり，「5 の平方根から 3 を引いて，0.5 を掛ける (3 - √5)/2」といっているので正しい。

ちなみに，大円，乙円の直径は 33.99186938124422 寸，16.99593469062211 寸である。

外円の直径が 832040 寸のとき，甲円の直径は 317811.00000053743 である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(600, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   R = 55//2
   (r1, r2, r3, x3) = (R*(-1 + sqrt(5))/2, R*(3 - sqrt(5))/2, R*(-1 + sqrt(5))/4, R*(-1/2 + sqrt(5)/2))
   @printf("大円の直径 = %g; 甲円の直径 = %g;  乙円の直径 = %g\n", 2r1, 2r2, 2r3)
   plot()
   circle(0, 0, R)
   circle22(0, R - r1, r1, :blue)
   circle22(0, R - r2, r2, :green)
   circle4(x3, r3, r3, :magenta)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, R, " R", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(R, 0, " R", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, R - r1, "大円:r1,(0,R-r1)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(0, R - r2, "甲円:r2,(0,R-r2)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(x3, r3, "乙円:r3\n(x3,r3)", :magenta, :left, delta=-delta/2)
   end
end;