算額（その896）

算額（その896）

七四 加須市大字外野 棘脱地蔵堂 明治7年(1874)

埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

外円の中に，正三角形と，大きさの異なる 4 種類の円が入っている。それぞれの円の直径を求めよ。

注：問，答，術共に欠損文字があり，更に円の名前も不明瞭で，大きさの順にもなっていないので，大きい順に甲，乙，丙，丁とし，それぞれの直径を外円の直径に対する比で求める。当然ながら，ある円の直径を特定の値としたとき別の円の直径を求めるのは容易なことである。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
甲円の半径と中心座標を r1, (0, 0); r1 = R/2
乙円の半径と中心座標を r2, (x2, r1 - r2)
丙円の半径と中心座標を r3, (x3, r1 + r3)
丁円の半径と中心座標を r4, (0, r1 + r4)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, r2::positive, x2::positive,
     r3::positive, x3::positive, r4::positive
r1 = R/2
eq1 = (R - r1 - r4) - 2r4
eq2 = x2^2 + (r1 - r2)^2 - (R - r2)^2
eq3 = x3^2 + (r1 + r3)^2 - (R - r3)^2
eq4 = dist2(R√Sym(3)/2, -R/2, 0, R, x2, r1 - r2, r2)
eq5 = dist2(R√Sym(3)/2, -R/2, 0, R, x3, r1 + r3, r3)
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5], (r2, x2, r3, x3, r4))[1];  # 1 of 4

4 組の解が得られるが，最初のものが適解である。それぞれは以下のように簡約化できる。

for i in 1:5
   res[i] |> simplify |> println
end

   R*(-1 + sqrt(3))/3
   R*(6 - sqrt(3))/6
   R*(-5 + 3*sqrt(3))
   3*R*(2 - sqrt(3))/2
   R/6

円についてだけいえば，大きい順に外円の直径を a とすれば，それぞれの直径は
甲円 a/2
乙円 a(√3 - 1)/3
丙円 a(3√3 - 5)
丁円 a/6
である。

外円の直径が 12 寸のとき，丁円の直径は 2 寸である。

その他のパラメータは以下のとおりである。

R = 6;  r1 = 3;  r2 = 1.4641;  x2 = 4.26795;  r3 = 1.17691;  x3 = 2.41154;  r4 = 1

この結果から見ると，算額の欠落文字を含む「只云□圓径□寸問丙圓径」に対して「丙円□□□分七厘有奇」は，「只云丁圓径一寸問丙圓径」に対して「丙円径一寸一分七厘有奇」なのであろう。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   R = 3
   r1 = R/2
   (r2, x2, r3, x3, r4) = (
       R*(-1 + sqrt(3))/3,
       R*(6 - sqrt(3))/6,
       R*(-5 + 3*sqrt(3)),
       3*R*(2 - sqrt(3))/2,
       R/6)
   @printf("外円の直径が %g 寸のとき，丁円の直径は %g 寸\n", 2R, 2r4)
   @printf("R = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  x2 = %g;  r3 = %g;  x3 = %g;  r4 = %g\n", R, r1, r2, x2, r3, x3, r4)
   plot([√3R/2, 0, -√3R/2, √3R/2], [-R/2, R, -R/2, -R/2], color=:green, lw=0.5)
   circle(0, 0, R, :blue)
   circle(0, 0, r1, :red)
   circle2(x2, r1 - r2, r2, :magenta)
   circle2(x3, r1 + r3, r3, :brown)
   circle(0, r1 + r4, r4, :orange)
   segment(-√3R/2, r1, √3R/2, r1, :black)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(R, 0, " R", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, R, " R", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, 0, "甲円:r1,(0,0)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(x2, r1 - r2, "乙円:r2\n(x2,r1-r2)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
       point(x3, r1 + r3, "丙円:r3\n(x3,r1+r3)", :brown, :center, delta=-delta/2)
       point(0, r1 + r4, "丁円:r4\n(0,r1+r4)", :black, :center, delta=-delta/2)
       point(0, r1, " r1", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(0, -r1, " -r1", :red, :center, delta=-delta/2)
   end
end;