算額（その898）

算額（その898）

七四 加須市大字外野 棘脱地蔵堂 明治7年(1874)

埼玉県立図書館：埼玉県史料集 第二集『埼玉の算額』，昭和44年，誠美堂印刷所，埼玉県与野市.

大円 1 個と，甲円 4 個，乙円 8 個がある。甲円の直径が 1 寸のとき，乙円の直径はいかほどか。

大円の半径と中心座標を R, (0, 0)
甲円の半径と中心座標を r1, (r1, r1)
乙円の半径と中心座標を r2, ((R + r2)/√2, (R + r2)/√2)
とおき以下の連立方程式を解く。

1.　数式解を求める

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, r2::positive
eq1 = r1^2 + (R - r2 - r1)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = 2((R + r2)/√Sym(2) - r1)^2 - (r1 - r2)^2
res = solve([eq1, eq2], (R, r2))[1];  # 1 of 3

3 組の解が得られるが，最初のものが適解である。
解は虚数解として得られるが，虚部は限りなく 0 に近いので，実部だけを取ればよい（あるいは，絶対値を取る）。

外円の半径 R = 0.975400964516989, 乙円の半径 r2 = 0.115852908334779

res[1](r1 => 1/2).evalf(), res[2](r1 => 1/2).evalf()

   (0.975400964516989 - 2.10363882672262e-33*I, 0.115852908334779 + 0.e-23*I)

乙円の直径は 0.115852908334779*2 = 0.231705816669558 である。

術は「置六個八分七厘壱毛減四個開平方減貳個六分貳厘以除四個」とあるが，(2.62 - sqrt(6.871 - 4))/4 と不思議な数と不思議な演算で 0.23139936260671184 を得て，答で「乙円径二分三厘有奇」としているが，いずれも不適切である。連立方程式で得られる式はとてつもなく長い（しかも，微細ではあるが虚部を含む）。

(2.62 - sqrt(6.871 - 4))/4

   0.23139936260671184

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r1 = 1/2
   (R, r2) = (0.975400964516989, 0.115852908334779)
   @printf("甲円の直径が %g のとき，乙円の直径は %.15g である。\n", 2r1, 2r2)
   @printf("r1 = %g;  R = %g;  r2 = %g\n", r1, R, r2)
   plot()
   circle(0, 0, R, :blue)
   circle4((R + r2)/√2, (R + r2)/√2, r2)
   circle42(0, R - r2, r2)
   circle4(r1, r1, r1, :green)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
   end
end;

2.　数値解を求める

最初から数値解を求めるほうがスッキリする。

using NLsolve

function nls(func, params...; ini = [0.0])
   if typeof(ini) <: Number
       r = nlsolve((vout, vin) -> vout[1] = func(vin[1], params..., [ini]), ftol=big"1e-40")
       v = r.zero[1]
   else
       r = nlsolve((vout, vin)->vout .= func(vin, params...), ini, ftol=big"1e-40")
       v = r.zero
   end
   return Float64.(v), r.f_converged
end;

function H(u)
   (R, r2) = u
   return [
       r1^2 - (r1 + r2)^2 + (R - r1 - r2)^2,  # eq1
       2*(-r1 + sqrt(2)*(R + r2)/2)^2 - (r1 - r2)^2,  # eq2
   ]
end;

r1 = 1/2
iniv = BigFloat[1, 0.5]
res = nls(H, ini=iniv)

   ([0.9754009645169893, 0.11585290833477907], true)

外円の半径 R = 0.975400964516989, 乙円の半径 r2 = 0.115852908334779