算額（その108）

算額（その108）

東京都府中市宮町 大國魂神社 明治18年
大國魂神社の算額（上段第2問）についての考察
http://www2.ttcn.ne.jp/~nagai/waseda/wasan/ok2.pdf

外円内に甲円，乙円，丙円が内接している。更に弦にも接している。甲円，乙円，丙円の径をそれぞれ 4 寸，13 寸，8 寸 4 分 5 厘のとき，外円の径を求めよ。

図のように記号を定め，方程式を立てる。
外円の半径を R とする。甲円，乙円，丙円の中心座標と半径を (0, 400 - R, 400)，(x4, y4, 1300), (x, y, 845) とする。

using SymPy

function distance(x1, y1, x2, y2, x0, y0)
p1, p2 = sympy.Point(x1, y1), sympy.Point(x2, y2)
l = sympy.Line(p1, p2)
l.distance(sympy.Point(x0, y0))^2  # 二乗距離を返す！！
end;

@syms x1, x3, y3, x4, y4, x, y, R, r, x0, y0;

eq1 = x^2 + y^2 - (R - 845)^2
eq2 = distance(x1, (800 - R), x3, y3, x4, y4) - 1300^2
eq3 = (x - x0)^2 + (y - y0)^2 - 845^2
eq4 = distance(x1, (800 - R), x3, y3, x, y) - 845^2;
eq5 = R + y4 - 2100
eq6 = x4^2 + y4^2 - (R - 1300)^2
eq7 = x3^2 + y3^2 - R^2
eq8 = x1^2 + (R - 800)^2 - R^2
eq9 = x0 - (x1 + x3) / 2
eq10 = y0 - ((800 - R) + y3) / 2;

方程式は solve() では解けないので，nlsolve() で数値解を求める。

eq1 |> println
eq2 |>  println
eq3 |> println
eq4 |> println
eq5 |> println
eq6 |> println
eq7 |> println
eq8 |> println
eq9 |> println
eq10 |> println

   x^2 + y^2 - (R - 845)^2
   (x4 - (x1*(R^2 + 2*R*y3 - 1600*R + x1^2 - 2*x1*x3 + x3^2 + y3^2 - 1600*y3 + 640000) - (x1 - x3)*(R^2 + R*y3 + R*y4 - 1600*R + x1^2 - x1*x3 - x1*x4 + x3*x4 + y3*y4 - 800*y3 - 800*y4 + 640000))/(R^2 + 2*R*y3 - 1600*R + x1^2 - 2*x1*x3 + x3^2 + y3^2 - 1600*y3 + 640000))^2 + (y4 - ((800 - R)*(R^2 + 2*R*y3 - 1600*R + x1^2 - 2*x1*x3 + x3^2 + y3^2 - 1600*y3 + 640000) + (R + y3 - 800)*(R^2 + R*y3 + R*y4 - 1600*R + x1^2 - x1*x3 - x1*x4 + x3*x4 + y3*y4 - 800*y3 - 800*y4 + 640000))/(R^2 + 2*R*y3 - 1600*R + x1^2 - 2*x1*x3 + x3^2 + y3^2 - 1600*y3 + 640000))^2 - 1690000
   (x - x0)^2 + (y - y0)^2 - 714025
   (x - (x1*(R^2 + 2*R*y3 - 1600*R + x1^2 - 2*x1*x3 + x3^2 + y3^2 - 1600*y3 + 640000) - (x1 - x3)*(R^2 + R*y + R*y3 - 1600*R - x*x1 + x*x3 + x1^2 - x1*x3 + y*y3 - 800*y - 800*y3 + 640000))/(R^2 + 2*R*y3 - 1600*R + x1^2 - 2*x1*x3 + x3^2 + y3^2 - 1600*y3 + 640000))^2 + (y - ((800 - R)*(R^2 + 2*R*y3 - 1600*R + x1^2 - 2*x1*x3 + x3^2 + y3^2 - 1600*y3 + 640000) + (R + y3 - 800)*(R^2 + R*y + R*y3 - 1600*R - x*x1 + x*x3 + x1^2 - x1*x3 + y*y3 - 800*y - 800*y3 + 640000))/(R^2 + 2*R*y3 - 1600*R + x1^2 - 2*x1*x3 + x3^2 + y3^2 - 1600*y3 + 640000))^2 - 714025
   R + y4 - 2100
   x4^2 + y4^2 - (R - 1300)^2
   -R^2 + x3^2 + y3^2
   -R^2 + x1^2 + (R - 800)^2
   x0 - x1/2 - x3/2
   R/2 + y0 - y3/2 - 400

# solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6, eq7, eq8, eq9, eq10])

using NLsolve

function nls(func, params...; ini = [0.0])
if typeof(ini) <: Number
r = nlsolve((vout, vin) -> vout[1] = func(vin[1], params..., [ini]), ftol=1e-14)
v = r.zero[1]
else
r = nlsolve((vout, vin)->vout .= func(vin, params...), ini, ftol=1e-14)
v = r.zero
end
return v, r.f_converged
end;

function H(u)
   (x1, x3, y3, x, y, R, x4, y4, x0, y0) = u
   return [
       x^2 + y^2 - (R - 845)^2,
       (x4 - (x1*(R^2 + 2*R*y3 - 1600*R + x1^2 - 2*x1*x3 + x3^2 + y3^2 - 1600*y3 + 640000) - (x1 - x3)*(R^2 + R*y3 + R*y4 - 1600*R + x1^2 - x1*x3 - x1*x4 + x3*x4 + y3*y4 - 800*y3 - 800*y4 + 640000))/(R^2 + 2*R*y3 - 1600*R + x1^2 - 2*x1*x3 + x3^2 + y3^2 - 1600*y3 + 640000))^2 + (y4 - ((800 - R)*(R^2 + 2*R*y3 - 1600*R + x1^2 - 2*x1*x3 + x3^2 + y3^2 - 1600*y3 + 640000) + (R + y3 - 800)*(R^2 + R*y3 + R*y4 - 1600*R + x1^2 - x1*x3 - x1*x4 + x3*x4 + y3*y4 - 800*y3 - 800*y4 + 640000))/(R^2 + 2*R*y3 - 1600*R + x1^2 - 2*x1*x3 + x3^2 + y3^2 - 1600*y3 + 640000))^2 - 1690000,
       (x - x0)^2 + (y - y0)^2 - 714025,
       (x - (x1*(R^2 + 2*R*y3 - 1600*R + x1^2 - 2*x1*x3 + x3^2 + y3^2 - 1600*y3 + 640000) - (x1 - x3)*(R^2 + R*y + R*y3 - 1600*R - x*x1 + x*x3 + x1^2 - x1*x3 + y*y3 - 800*y - 800*y3 + 640000))/(R^2 + 2*R*y3 - 1600*R + x1^2 - 2*x1*x3 + x3^2 + y3^2 - 1600*y3 + 640000))^2 + (y - ((800 - R)*(R^2 + 2*R*y3 - 1600*R + x1^2 - 2*x1*x3 + x3^2 + y3^2 - 1600*y3 + 640000) + (R + y3 - 800)*(R^2 + R*y + R*y3 - 1600*R - x*x1 + x*x3 + x1^2 - x1*x3 + y*y3 - 800*y - 800*y3 + 640000))/(R^2 + 2*R*y3 - 1600*R + x1^2 - 2*x1*x3 + x3^2 + y3^2 - 1600*y3 + 640000))^2 - 714025,
       R + y4 - 2100,
       x4^2 + y4^2 - (R - 1300)^2,
       -R^2 + x3^2 + y3^2,
       -R^2 + x1^2 + (R - 800)^2,
       x0 - x1/2 - x3/2,
       R/2 + y0 - y3/2 - 400,
   ]
end;

iniv = [-1500.0, 900, 2000, -1000, 800, 2200, 900, -100, -400, 300]
res = nls(H, ini=iniv)
println(res)

   ([-1700.0, 873.9999999999999, 2025.75, -1089.0000042590011, 816.7499943213318, 2206.25, 900.0, -106.24999999999997, -413.00000000000006, 309.74999999999994], true)

外円の半径は 2206.25 である。元の単位での径（直径）は 22 寸 0 分 6 厘 2 毛 5 糸である。

using Plots
using Printf

function circle(ox, oy, r, color=:red; beginangle=0, endangle=360, fill=false)
  θ = beginangle:0.1:endangle
  x = r.*cosd.(θ)
  y = r.*sind.(θ)
   if fill
       plot!(ox .+ x, oy .+ y, color=color, linewidth=0.5, seriestype=:shape, fillcolor=color)
   else
       plot!(ox .+ x, oy .+ y, color=color, linewidth=0.5)
   end
end;

function point(x, y, string="", color=:green, position=:left, vertical=:top; mark=true)
   mark && scatter!([x], [y], color=color, markerstrokewidth=0)
   annotate!(x, y, text(string, 10, position, color, vertical))
end;

function segment(x1, y1, x2, y2, color=:black; linestyle=:solid, linewidth=0.5)
   plot!([x1, x2], [y1, y2], color=color, linestyle=linestyle, linewidth=linewidth)
end;

function draw(more=false)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (x1, x3, y3, x, y, R, x4, y4, x0, y0) = res[1]
   println("R = $R")
   plot()
   circle(0, 0, R)
   circle(x, y, 845, :blue)
   circle(x4, y4, 1300, :magenta)
   circle(0, 400-R, 400, :green)
   segment(x1, 800 - R, -x1, 800 - R)
   segment(x1, 800 - R, x3, y3)
    if more
       point(x4, y4, "(x4,y4)")
       point(0, 400-R, "400-R")
       point(x, y, "(x,y)")
       point(x0, y0, "(x0,y0)")
       point(x1, 800 - R, "(x1,800-R)")
       point(x3, y3, "(x3,y3)")
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
    end
end;