算額（その1094）

算額（その1094）

五十三 岩手県一関市 舞草観音堂  天保14年(1843)より後（?）
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円4個，正三角形，正方形

全円に内接する正三角形と水平な弦を引き，分割された領域に等円 3 個，楕円 1 個を容れる。等円の直径が 与えられたときに楕円の長径を求めよ。

全円の半径と中心座標を R, (0, 0)
等円の半径と中心座標を r, (x, 2b - R/2 - r), (0, 2b - R/2 + r)
楕円の長半径，短半径と中心座標を a, b, (0, b - R/2); b = r
最終的な図を描くのには不要であるが，楕円と正三角形の接点の座標を (x0, y0)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt")

using SymPy

@syms R::positive, r::positive, x::positive, y::positive,
     a::positive, b::positive, x0::positive, y0::positive
y = 2b - R/2 - r
eq1 = x0^2/a^2 + (y0 - b + R/2)^2/b^2 - 1
eq2 = -b^2*x0/(a^2*(y0 - b + R/2)) + √Sym(3)
eq3 = (y0 - b + R/2)/x0 - 1/√Sym(3) # 0.3083756345177664
eq3 = (y0 + R/2)/(√Sym(3)R/2 - x0) -√Sym(3)
eq4 = dist2(0, R, √Sym(3)R/2, -R/2, x, y, r)
eq5 = dist2(0, R, √Sym(3)R/2, -R/2, 0, r + 2b - R/2, r)
eq6 = x^2 + y^2 - (R - r)^2
eq7 = 2r - (3R/2 - 2b - r)
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6], (R, x, a, b, x0, y0))[1]

    (9*r/2, 2*sqrt(3)*r, 3*sqrt(3)*r/2, 15*r/8, 18*sqrt(3)*r/13, 9*r/26)

楕円の長半径 a は，等円の半径 r の 3√3/2 倍である。
等円の直径が 1 寸の解き，楕円の長径は 3√3/2 = 2.598076211353316 寸である。

山村は根拠なく「側円長径=等円径×3」と提案しているが，もちろん誤りである。

その他のパラメータは以下のとおりである。

   r = 0.5;  R = 2.25;  x = 1.73205;  y = 0.25;  a = 1.29904;  b = 0.9375;  x0 = 1.19911;  y0 = 0.173077

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r = 1/2
   (R, x, a, b, x0, y0) = (9*r/2, 2*sqrt(3)*r, 3*sqrt(3)*r/2, 15*r/8, 18*sqrt(3)*r/13, 9*r/26)
   y = 2b - R/2 - r
   l = √3R/2
   @printf("等円の直径が %g のとき，楕円の長径は %g である。\n", 2r, 2a)
   @printf("r = %g;  R = %g;  x = %g;  y = %g;  a = %g;  b = %g;  x0 = %g;  y0 = %g\n", r, R, x, y, a, b, x0, y0)
   plot([l, 0, -l, l], [ -R/2, R, -R/2, -R/2], color=:blue, lw=0.5)
   circle(0, 0, R, :magenta)
   circle2(x, y, r)
   circle(0, 2b - R/2 + r, r)
   ellipse(0, b - R/2, a, b, color=:green)
   segment(-sqrt(R^2 - (2b - R/2)^2), 2b - R/2, sqrt(R^2 - (2b - R/2)^2), 2b - R/2)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, -R/2, "-R/2", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(0, 2b - R/2, "2b-R/2", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(0, 2b - R/2 + r, "等円:r\n(0,2b-R/2+r)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(x, 2b - R/2 - r, "等円:r\n(0,2b-R/2-r)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(0, b - R/2, "楕円:a,b,(0,b-R/2)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(R, 0, " R", :magenta, :left, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;