算額（その1100）

算額（その1100）

六十六 岩手県花泉町金沢字大柳 金沢八幡宮 明治29年(1896)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円3個，二等辺三角形4個，半円1個

半円の中に二等辺三角形を 4 個，大円 1 個，小円 2 個を容れる。小円の直径が与えられたとき，大円の直径を求めよ。

半円の半径と中心座標を R, (0, 0)
大円の半径と中心座標を r1, (0, R - r1)
小円の半径と中心座標を r2, (R/2, y2)
二等辺三角形の高さを y0
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt")

using SymPy
@syms R::positive, r1::positive,
     r2::positive, y2::positive, y0::positive
y0 = √Sym(7)R/4  # y0 = sqrt(R^2 - (3R/4)^2)
eq1 = R^2/4 + y2^2 - (R - r2)^2 |> expand
eq2 = r2/y0 - r1 /(R - r1)
eq2 = r2/y2 - r1 /(R - r1)
eq3 = dist2(0, 0, R/4, y0, R/2, y2, r2)
eq4 = dist2(0, 0, R/4, y0, 0, R - r1, r1)
res = solve([eq1, eq2, eq4], (R, r1, y2))[1]

   (2*r2*(5*sqrt(9 - 4*sqrt(2)) + 14 + 10*sqrt(18 - 8*sqrt(2)))/21, 2*r2*(-2 + 4*sqrt(2) + 5*sqrt(9 - 4*sqrt(2)))/21, 2*sqrt(2)*r2)

それぞれの解は簡約化できるものもある。

#= R =# res[1] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println

   14*r2/3

#= r1 =# res[2] |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> println

   2*r2*(-1 + 2*sqrt(2))/3

#= y2 =# res[3] |> println

   2*sqrt(2)*r2

大円の半径 r1 は，小円の半径 r2 の (4√2 - 2)/3 倍である。
小円の直径が 1 寸のとき，大円の直径は 1.2189514164974602 寸である。

その他のパラメータは以下のとおりである。

   r2 = 0.5;  R = 2.33333;  r1 = 0.609476;  y2 = 1.41421;  y0 = 1.54335

「術」では，小円の直径の (70 - √1372)/27 = 1.220721542410953 としているので，食い違いがある。

原因は図形の解釈にあるかもしれない。
いつもの通り，山村の図が不正確であり（算額の図も同じかもしれないが），左右の二等辺三角形の頂点が半円の円周上にあるかどうか不明瞭である。
山村の図では右の二等辺三角形の頂点は円周上にないが，左のそれは円周上にあるように見える。
ここでは，頂点は円周上にあるものとして解いた（そのほうが算額らしいと思うので）。しかし，別途，円周上にないとして解いた場合でも 1.2260924510696558 となり，やはり「術」の解とは一致しなかった。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r2 = 1/2
   (R, r1, y2) = r2 .* (14/3, (4√2 - 2)/3, 2√2)
   y0 = √7R/4
   @printf("小円の直径が %g のとき，大円の直径は %g である。\n", 2r2, 2r1)
   @printf("r2 = %g;  R = %g;  r1 = %g;  y2 = %g;  y0 = %g\n", r2, R, r1, y2, y0)
   plot(R .* [1, 3/4, 1/2, 1/4, 0, -1/4, -1/2, -3/4, -1, 1], [0, y0, 0, y0, 0, y0, 0, y0, 0, 0], color=:magenta, lw=0.5)
   circle(0, 0, R, :blue, beginangle=0, endangle=180)
   circle(0, R - r1, r1)
   circle2(R/2, y2, r2, :green)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(R/4, 0, "R/4", :magenta, :center, delta=-delta)
       point(R/2, 0, "R/2", :magenta, :center, delta=-delta)
       point(3R/4, 0, "3R/4", :magenta, :center, delta=-delta)
       point(3R/4, y0, " (3R/4,y0)", :magenta, :left, :vcenter)
       point(R/2, y2, "小円:r2\n(R/2,y2)", :green, :center, delta=-delta)
       point(0, R - r1, "大円:r1\n(0,R-r1)", :red, :center, delta=-delta)
       point(0, R, "R", :blue, :center, :bottom, delta=delta)
       point(R, 0, " R", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
       plot!(ylims=(-8delta, R + 2delta))
   end
end;