算額（その1098）

算額（その1098）

六十六 岩手県花泉町金沢字大柳 金沢八幡宮 明治29年(1896)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
キーワード：円3個，四分円2個，正三角形

正三角形と 2 個の四分円が重なっている領域に等円 3 個を容れる。等円の直径が与えられたときに正三角形の一辺の長さを求めよ。

正三角形の一辺の長さを 2a
四分円の半径と中心座標を R, (a, 0), (-a, 0)
等円の半径と中心座標を r, (a - r, y1), (0, y2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt")

using SymPy
@syms a::positive, R::positive, r::positive, y1::positive, y2::positive
eq1 = r^2 + y1^2 - (R - r)^2
eq2 = a^2 + y2^2 - (R + r)^2
eq3 = 2r - (√Sym(3)a -y2)
eq4 = dist2(0, √Sym(3)a, a, 0, a - r, y1, r)
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (a, R, y1, y2))[1];

三角形の一辺の長さは等円の半径の (sqrt(3) + sqrt(4*sqrt(2) + 4*sqrt(3) + 4*sqrt(6) + 11)) 倍である。

a = res[1] |> sympy.sqrtdenest |> simplify
a |> println

   r*(sqrt(3) + sqrt(4*sqrt(2) + 4*sqrt(3) + 4*sqrt(6) + 11))/2

R = res[2] |> sympy.sqrtdenest |> simplify
R |> println

   r*(1 + sqrt(2) + sqrt(6))

y1 = res[3] |> sympy.sqrtdenest |> simplify
y1 |> println

   r*(sqrt(3) + 2)

y2 = res[4] |> sympy.sqrtdenest |> simplify
y2 |> println

   r*(-1 + sqrt(12*sqrt(2) + 12*sqrt(3) + 12*sqrt(6) + 33))/2

等円の直径が 1 寸のとき，三角形の一辺の長さは 3.7549272907866866 寸である。

その他のパラメータは以下のとおりである。

   r = 0.5,  a = 1.87746;  R = 2.43185;  y1 = 1.86603;  y2 = 2.25186

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r = 1/2
   a = r*(√3 + sqrt(4√2 + 4√3 + 4√6 + 11))/2
   R = r*(1 + √2 + √6)
   y1 = r*(√3 + 2)
   y2 = r*(-1 + sqrt(12√2 + 12√3 + 12√6 + 33))/2
   @printf("等円の直径が %g のとき，正三角形の一辺の長さは %g である。\n", 2r, 2a)
   @printf("r = %g,  a = %g;  R = %g;  y1 = %g;  y2 = %g\n", r, a, R, y1, y2)
   plot([a, 0, -a, a], [0, √3a, 0, 0], color=:green, lw=0.5)
   circle(0, y2, r)
   circle2(a - r, y1, r)
   circle(a, 0, R, :blue, beginangle=90, endangle=180)
   circle(-a, 0, R, :blue, beginangle=0, endangle=90)
   segment(a, 0, a, R, :blue)
   segment(-a, 0, -a, R, :blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, y2, "等円:r,(0,y2)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(a - r, y1, "等円:r,(a-r,y1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(0, √3a, " √3a", :green, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(a, 0, " a", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(a, R, "(a,R)", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;