算額（その1022）

算額（その1022）

十四 前沢町赤生津長根 前沢月山神社 明治11年(1878)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

二等辺三角形の中に大円 1 個と等円 4 個を入れる。
大円の直径が 54 寸，二等辺三角形の底辺が 81 寸のとき，等円の直径はいかほどか。

注：算額の「問」では底辺の長さは 82 になっている。山村は 81 として例解を示している。確かに 81 のときのほうが，整数解にはなる。

二等辺三角形の底辺の長さ，高さを 2a, b
大円の半径と中心座標を r1, (0, r1)
等円の半径と中心座標を r2, (3r2, r2), (r2 r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, b::positive, r1::positive, r2::positive
eq1 = r2/(a - 3r2) - r1/a
eq2 = dist2(0, b, a, 0, 3r2, r2, r2)
res = solve([eq1, eq2], (r2, b))[1]
res |> println

   (a*r1/(a + 3*r1), 2*a^2*r1/((a - r1)*(a + r1)))

等円の半径 r2 は，a*r1/(a + 3r1) = r1/(1 +3r1/a) である。
たとえば，大円の直径が 54 寸，二等辺三角形の底辺が 81 寸のとき，等円の直径は 18 寸である。
二等辺三角形の高さは 97.2 寸である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, a) = (54/2, 81/2)
   (r2, b) = (a*r1/(a + 3*r1), 2*a^2*r1/((a - r1)*(a + r1)))
   @printf("r1 = %g;  a = %g;  r2 = %g;  b = %g\n", r1, a, r2, b)
   @printf("大円の直径が %g，二等辺三角形の底辺が %g のとき，等円の直径は %gである。", 2r1, 2a, 2r2)
   plot([a, 0, -a, a], [0, b, 0, 0], color=:green, lw=0.5)
   circle(0, r1, r1)
   circle2(r2, r2, r2, :blue)
   circle2(3r2, r2, r2, :blue)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a, 0, " a", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, b, " b", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, r1, "大円:r1,(0,r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(3r2, r2, "等円:r2\n(3r2,r2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(r2, r2, "等円:r2\n(r2,r2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
   end
end;

算額（その1021）

算額（その1021）

十四 前沢町赤生津長根 前沢月山神社 明治11年(1878)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

直角三角形の中に，大円を入れ，その中に等円 5 個を入れる。鈎，股が与えられたとき，等円の直径を求めるすべを述べよ。

鈎，股を b, a，等円の半径と中心座標を r とする。
eq1 は方程式のように見えるが，これは等式である。
直角三角形に内接する円の直径は 「鈎 + 股 - 弦」という，有名な公式がある。
r について整理すると，(a + b - sqrt(a^2 + b^2))/6 となる。内部の 5 個の等円の中心座標も，簡単に表現できる。

なお，術も山村によるその解説も，無茶苦茶で意味をなさない（この本ではよくあることであるが）。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, b::positive, r::positive
eq1 = dist2(a, 0, 0, b, (3 + √Sym(3))r, 4r, r)
eq1 = a + b - sqrt(a^2 + b^2) - 2(3r)
res = solve(eq1, r)[1]
res |> println

   a/6 + b/6 - sqrt(a^2 + b^2)/6

等円の半径は (a + b - 弦)/6 である。
たとえば，鈎，股がそれぞれ 9寸, 12 のとき，等円の直径は (9 + 12 - 15)/3 = 2 寸である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (a, b) = (12, 9)
   r = (a + b - sqrt(a^2 + b^2))/6
   @printf("鈎，股がそれぞれ %g, %g のとき，等円の直径は %g である（大円の直径は %g）。\n", b, a, 2r, 6r)
   plot([0, a, 0, 0], [0, 0, b, 0], color=:green, lw=0.5)
   circle(3r, 3r, 3r)
   circle((3 + √3)r, 4r, r, :blue)
   circle((3 - √3)r, 4r, r, :blue)
   circle(3r, r, r, :blue)
   circle(3r, 3r, r, :blue)
   circle(3r, 5r, r, :blue)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(3r, 3r, "大円:3r,(3r,3r)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point((3 + √3)r, 4r, "等円:r\n(3+√3)r,r)", :blue, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(a, 0, "a", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, b, " b", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;

算額（その1020）

算額（その1020）

十四 前沢町赤生津長根 前沢月山神社 明治11年(1878)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

直角三角形の中に大円 1 個，等円 5 個を入れる。大円の直径が 120 寸，股（直角を挟む長い方の辺）が 240 寸のとき，等円の直径はいかほどか。

直角三角形の股を a，鈎（直角を挟む短い方の辺）を b
大円の半径と中心座標を r1, (r1, r1)
等円の半径と中心座標を r2, (9r2, r2)
とおく。

まず，等円の直径 2r2 を求める。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, r1::positive, r2::positive, b::positive
eq1 = r2/(a - 9r2) - r1/(a - r1)
res1 = solve(eq1, r2)[1]
#= r2 =#   (res1, res1(r1 => 120//2, a => 240)) |> println

   (a*r1/(a + 8*r1), 20)

等円の直径は 2r2 = 2a*r1/(a + 8*r1) である。
大円の直径が 120 寸，股が 240 寸のとき，等円の直径は 20 寸である。

図を描くために直角三角形の鈎 b を決める。

eq2 = a + b - sqrt(a^2 + b^2) - 2r1
res2 = solve(eq2, b)[1]
#= b =#  (res2, res2(r1 => 120//2, a => 240)) |> println

   (2*r1*(a - r1)/(a - 2*r1), 180)

鈎は (2r1*(a - r1)/(a - 2r1) である。
大円の直径が 120 寸，股が 240 寸のとき，等円の直径は 180 寸である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   a = 240
   r1 = 120/2
   r2 = a*r1/(a + 8r1)
   b = 2*r1*(a - r1)/(a - 2*r1)
   @printf("大円の直径が %g， 股が %g のとき，等円の直径は %g，鈎は %g である。\n", 2r1, a, 2r2, b)
   plot([0, a, 0, 0], [0, 0, b, 0], color=:green, lw=0.5)
   circle(r1, r1, r1)
   for i = 1:2:9
       circle(i*r2, r2, r2, :blue)
   end
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(r1, r1, "大円:r1,(r1,r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(9r2, r2, "等円:r2\n(9r2,r2)", :blue, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(a, 0, "a", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, b, " b", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;

算額（その1019）

算額（その1019）

十四 前沢町赤生津長根 前沢月山神社 明治11年(1878)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

長方形の中に大円，中円，等円を入れる。長方形の長辺の長さが 53 寸のとき，等円の直径はいかほどか。

注：山村の図では中円が離れていて，おかしな図形になっているが，中円は互いに外接しあっているべきだ。

長方形の長辺の長さを a，（短辺の長さは 4r1）
大円の半径と中心座標を 2r1, (a - 2r1, 2r1)
中円の半径と中心座標を r1, (a - 2r1, r1), (a - 2r1, 3r1)
等円の半径と中心座標を r2, (a - 4r1 + r2, 2r1), (3r2, r2), (a - r2, 2r1), (r2, r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, r1::positive, r2::positive
eq1 = (2r1 - r2)^2 + r1^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = (a - 2r1 - 3r2)^2 + (2r1 - r2)^2 - (2r1 + r2)^2
res = solve([eq1, eq2], (r1, r2))[1];

#= r1 =#  res[1] |> simplify |> println

   a*(3 - sqrt(3))/8

#= r2 =#  res[2] |> simplify |> println

   a*(3 - sqrt(3))/12

等円の直径は，長方形の長辺の長さの (3 - √3)/6 倍である。
「術」は「長方形の長辺の長さを，3 の平方根に 3 を加えたもので割る... a/(3 + √3)」で，分母を有理化すると，a(3 - √3)/6 になる。

長方形の長辺の長さが 53 寸のとき，等円の直径は 53*(3 - √3)/6 = 11.200217866474917 である。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   a = 53
   r1 = a*(3 - √3)/8
   r2 = a*(3 - √3)/12
   b = 4r1
   @printf("長方形の一辺の長さが %g のとき，等円の直径は %g，中円の直径は %g，大円の直径は %g である。\n", a, 2r2, 2r1, 4r1)
   plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, b, b, 0], color=:green, lw=0.5)
   circle(r2, r2, r2)
   circle(3r2, r2, r2)
   circle(a - 4r1 + r2, 2r1, r2, :red)
   circle(a - r2, 2r1, r2, :red)
   circle(a - 2r1, r1, r1, :magenta)
   circle(a - 2r1, 3r1, r1, :magenta)
   circle(a - 2r1, 2r1, 2r1, :blue)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(3r2, r2, "等円:r2\n(3r2,r2)", :red, :center, delta=-delta)
       point(a - 4r1 + r2, 2r1, "等円:r2\n(a-4r1+r2,2r1)", :red, :center, :bottom, delta=delta)
       point(a - 2r1, 2r1, "大円:2r1\n(a-2r1,2r1)", :blue, :center, delta=-delta)
       point(a - 2r1, r1, "中円:r1\n(a-2r1,r1)", :magenta, :center, delta=-delta)
       point(a, 0, " a", :green, :left, :bottom, delta=delta)
       point(0, 4r1, " 4r1", :green, :left, :bottom, delta=delta)
   end
end;

算額（その1018）

算額（その1018）

十三 岩手県江刺市広瀬字沢（現奥州市江刺広瀬沢） 松寺子安地蔵堂（松林堂） 天保9年(1838)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html

外円内に大円 1 個，中円 2 個，小円 2 個を入れる。
大円，中円，小円の直径がそれぞれ 550 寸，429 寸，264 寸のとき，外円の直径はいかほどか。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0)
大円の半径と中心座標を r1, (0, y1)
中円の半径と中心座標を r2, (0, y2)
小円の半径と中心座標を r3, (0, y3)
とおき，以下の連立方程式を解く。

注：大円の中心は外円の中心とは一致しない。山村が間違えた一つの原因はここにある。

SymPy で自動的には解けないので，以下のように手動で解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, r2::positive,
     y1::positibe, y2::negative, r3::positive, y3::positive
eq1 = r3^2 + y3^2 - (R - r3)^2 |> expand
eq2 = r3^2 + (y3 - y1)^2 - (r1 + r3)^2 |> expand
eq3 = r2^2 + y2^2 - (R - r2)^2 |> expand
eq4 = r2^2 + (y1 - y2)^2 - (r1 + r2)^2 |> expand;

ans_y3 = solve(eq1, y3)[1];
ans_y3 |> println

   sqrt(R)*sqrt(R - 2*r3)

eq2 = eq2(y3 => ans_y3);

ans_y2 = solve(eq3, y2)[1];
ans_y2 |> println

   -sqrt(R)*sqrt(R - 2*r2)

eq4 = eq4(y2 => ans_y2);

ans_y1 = solve(eq2, y1)[1];  # 1 of 2
ans_y1 |> println

   sqrt(R)*sqrt(R - 2*r3) - sqrt(r1)*sqrt(r1 + 2*r3)

eq = eq4(y1 => ans_y1);

ans_R = solve(eq, R)[2];
ans_R |> println

   (2*r1^2*r2 + 2*r1^2*r3 + r1*r2^2 + 6*r1*r2*r3 + 2*r1*r2*sqrt(r1 + 2*r2)*sqrt(r1 + 2*r3) + r1*r3^2 + 2*r1*r3*sqrt(r1 + 2*r2)*sqrt(r1 + 2*r3))/(4*r1*r2 + 4*r1*r3 - r2^2 + 2*r2*r3 - r3^2)

大円，中円，小円の半径がそれぞれ r1, r2, r3 のとき，外円の半径 R，大円，中円，小円の中心座標の y 座標値 y1, y2, y3 は以下のように計算できる。

R = (2r1^2*r2 + 2r1^2*r3 + r1*r2^2 + 6r1*r2*r3 + 2r1*r2*sqrt((r1 + 2r2)*(r1 + 2*r3)) + r1*r3^2 + 2*r1*r3*sqrt((r1 + 2r2)*(r1 + 2r3)))/(4r1*r2 + 4r1*r3 - r2^2 + 2r2*r3 - r3^2)
y1 = sqrt(R*(R - 2r3)) - sqrt(r1*(r1 + 2r3))
y2 = -sqrt(R*(R - 2r2)
y3 = sqrt(R*(R - 2r3))

大円，中円，小円の直径がそれぞれ 550 寸，429 寸，264 寸のとき，外円の直径は 1250 寸である。
その他のパラメータは y1 = 90;  y2 = -350;  y3 = 475 である。

算額に答は記されていないが，山村の解（図中では色で示した円；直径 1171.5）は誤りである。
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura2.pdf

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, r2, r3) = (550, 429, 264) ./ 2
   R = (2r1^2*r2 + 2r1^2*r3 + r1*r2^2 + 6r1*r2*r3 + 2r1*r2*sqrt((r1 + 2r2)*(r1 + 2*r3)) + r1*r3^2 + 2*r1*r3*sqrt((r1 + 2r2)*(r1 + 2r3)))/(4r1*r2 + 4r1*r3 - r2^2 + 2r2*r3 - r3^2)
   y1 = sqrt(R*(R - 2r3)) - sqrt(r1*(r1 + 2r3))
   y2 = -sqrt(R*(R - 2r2))
   y3 = sqrt(R*(R - 2r3))
   yamamura = 1171.5/2
   @printf("大円の直径が %g，中円の直径が %g，小円の直径が %g 　のとき，外円の直径は %g である。\n", 2r1, 2r2, 2r3, 2R)
   @printf("y1 = %g;  y2 = %g;  y3 = %g\n", y1, y2, y3)
   plot()
   circle(0, 0, R, :green)
   circle(0, 0, yamamura, :gray70)
   circle(0, y1, r1)
   circle2(r2, y2, r2, :blue)
   circle2(r3, y3, r3, :magenta)
   if more        
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, y1, "大円:r1,(r1,y1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(r2, y2, "中円:r2,(r2,y2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(r3, y3, "小円:r3\n(r3,y3)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
       point(0, R, " R", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(R, 0, " R", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;