マッキーの一問必答（１２）：共通部分を含めて考える求積問題

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　「一問必答」は、「一問一答」に掛けた造語として、今回のシリーズで用います。中学受験した学校に合格するために、ぜひ正解してほしい問題の中で、特に経験的に修得すべき基礎的知識を含む２６年度の問題を取り上げ、ポイントを解説します。

今日のテーマは、図形の重なった部分を考慮して考える問題です。この問題は、多くの学校で出題される基本的な考え方で、しっかりと学習しておく必要のある問題です。


【２６年度の入試問題】　（分数の表記および記号が、実際の入試問題と若干異なります。）

今回のタイプの入試問題から、公文国際学園中等部・共立女子中学校・女子学院中学校の3校の問題を取り上げ、その考え方を解説します。

１．公文国際学園中等部

公文国際の算数は、問題１が計算を含む小問１０題、問題２がやはり小問５題、問題３は同様に小問４題で構成されています。問題４は平面図形４題、問題５は小問４題で構成された大問です。今回の問題は、問題１の小問の一つです。

【問題】下の図は半円と直角三角形を組み合わせたものです。２つの車線部分の面積が等しいとき、BCの長さは□ｃｍです。ただし、円周率は３.１４とします。　




２．共立女子中学校

共立の２６年度算数は、問題１が計算を含む小問７題、問題２が円柱の展開図に関する作図、問題３から問題７までが小問２題で構成された大問といった出題でした。今回の問題は、問題１の小問の一つとして出題されました。

【問題】下の図は、おうぎ形と直角三角形を重ねたものです。２つの車線部分の面積が等しいとき、aの長さは何cmですか。　　




３．女子学院中学校

２６年度の女子学院の算数は、問題１が小問５題で構成され、その後に大問が７題続きます。割合の問題・立体図形の展開図に関する問題・容器に水を満たすグラフ読み取りの問題・図形の転がり移動の問題・仕事に関して周期算を用いる問題・条件整理の問題などの内容で大問は出題されています。今回解説する問題は、問題１の小問の一つです。

【問題】図のように、１辺が１１ｃｍの正方形を２本の直線で４つの部分に分けたら、四角形ABCDと三角形CEFの面積が等しくなりました。辺ABの長さは□ｃｍです。　　



このシリーズで取り上げる今春の中学入試問題は、私が作成した解説および解答を見ずに、まずは自力で解いてみることをお勧めします。大人には頭の体操になりますし、また受験生は、算数に対する興味や面白さが、倍増するはずです！


【解答と理解しておくべきポイント】

１．公文国際学園中等部

問題の条件から、斜線部分のアとイの部分の面積が等しいことが分かります。

ア＝イ

そこで半円と直角三角形の重なった部分ウを加味して考えると、

ア＋ウ（半円の面積）＝イ＋ウ（直角三角形の面積）

直角三角形の面積＝半円の面積から、４×□÷２＝2×2×３．１４÷２

よって、□＝３．１４（ｃｍ）




２．共立女子中学校

条件から、ア＝イ

重なった部分を加えて、四分円＝直角三角形となり、ア＋ウ＝イ＋ウ

６×a÷２＝６×６×３．１４÷４　これを解いて、a＝９．４２ｃｍ




３．女子学院中学校

与えられた条件から、ア＝イ

台形と直角三角形の重なった部分ウを加えて考えると、

台形の面積＝直角三角形となり、ア＋ウ＝イ＋ウ

（AB＋２）×１１÷２＝６×１１÷２

この式を解いて、AB＝４ｃｍ



斜線部分の面積が等しいという条件を、もう少し広い視野で考えて、重なった部分（共通部分）まで加えると比較的簡単に問題を解く事ができる問題です。こうした考え方は、算数に留まらずさまざまな状況で使える見方を含んでいます。