対角線論法が証明ならば数学は完全である・・

（主語は述語）という形の文を（主語⇒述語）という命題形式で表現するのは《ＵＦＴ論理》といって良い特有な書式なんだが、ゲーデル自身の記号法によればＧ⇔￢Ｐ（Ｇ）であり￢Ｇ⇔Ｐ（Ｇ）であることをこの書式（山野式）で表記するには勇気が要る。Ｐとはｐｒｏｂａｂｌｅの略であり「証明できる」という意味なのであるが、ここは「証明できる命題」という主語と対等な意味合いとして意訳して考えたら良いと思う。そうしたら集合論で取り扱うことができる。

Ｇ⇔（Ｇ⇔（Ｇ⇒￢Ｐ））⇔Ｇ∧￢Ｐ
「ＧとはＧであり証明できない命題のこと」

￢Ｇ⇔（Ｇ⇔（Ｇ⇒Ｐ））⇔Ｇ∧Ｐ
「￢ＧとはＧであり証明できる命題のこと」

さらに

Ｇ⇔（￢Ｇ⇔Ｇ∧Ｐ）「￢Ｇをかように定義する事自体がＧである」

ならばゲーデルの論証途上で出現するＧ∧￢Ｇとは「￢Ｇの定義かつ￢Ｇ」だと考えても同じである。さらに対角線論法は背理法のように言われているが実際には実数の可算性を仮定してひっくり返す反証法であるに過ぎない。すなわちＡ⇒￢Ａは￢Ａと同値だからそれを応用しているわけだ。ま、この文中ではとやかく言わずに対角線論法は証明だとして考察する。

さて￢Ｇの定義が証明できないとはどういうことか、その秘密は述語論理の難点でもあるだろうし、もちろんゲーデル命題の不良性でもある。Ｇと￢ＧとはＧ∧￢ＰとＧ∧Ｐだから排反（ｅｘｃｌｕｓｉｖｅ）なんだけどＧ∨￢Ｇ⇔Ｇであって全称を得られないという意味で集合論的に不備がある。また数学が無矛盾であれば証明された命題は真だから、もし￢Ｇが証明されたら￢Ｇが真だということを意味し、その場合の￢Ｇとは「Ｇと仮定された命題だったが証明されたのでＧでないと分かった」という話でも成立するはずである。Ｇ∨￢Ｇに全称を与えるためにはゲーデルの行った￢Ｇの定義自体をぶち壊す必要がある。さらに数学が完全だったとしたら証明できない命題は誤りなのでＧは偽だと判定されるではないか？

ここで言う「証明される￢Ｇ」とはＧ⇒￢Ｇという反証の結果得られる￢Ｇである・・。ここから数学の不完全性を考慮する必要に駆られたりするであろうか？

￢Ｇの定義文におけるＧに《数学の無矛盾性》を入れると「数学が無矛盾でありなおかつそれを証明できる事自体が数学の矛盾性」となる。が、それは「知的人類を自網自縛に落とした上の自閉症疑惑というスキャンダルまで生み出したゲーデル論理世界の根源」でしかない。「数学の無矛盾性は証明できないのでＧだったが証明できたのでＧじゃなくなった」という過程を経たとしても￢Ｇは￢Ｇではないだろうか？

歴史的にはそうあり、
自然数の無矛盾性は既に
超現順序数を用いて証明されている・・。

カントルの対角線論法が証明であるためにはωおよびカントルが数えていった世界のすべてが可算集合でなくてはならなくなる。つまりωのωのω乗乗などといった超越した数もまた自然数で追っていけると踏んだ場合にはカントルは証明たり得る。９の９の９乗乗ぐらいで表記できないほどの途轍もない大数であるにも関わらず！

「対角線論法によっていったんは非可附番数とされたωを１の前に出して数え直すということを幾ら繰り返しても実数は非可算」

ということを承諾すれば対角線論法とそこから派生した論証は証明である・・。それでもここから大問題が二つもあって、一つは「そうしたら数学は完全だということを世界が理解しているかどうか？」ということ、で、もう一つは「２のω乗は区間（０，１）におけるすべての無限小数の総数だと察せられるがそうだとしたら一つずつ増やしていくペアノ公理にそった数え方では通り越してしまって明らかにより大きなωのω乗は数えられるのに真に小なる２のω乗は数えられないなんてことになってしまう！」ことである、嗚呼・・。

すべての無限小数ではまだ足らなくて不連続だという証明でも得るほかない、やれやれ・・。