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離散コサイン変換 (5)

2013-08-02 21:56:39 | 暮らし
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                         DIF アルゴリズム

武部先生のゼミで教えて頂いた DCT-Ⅱ の時間間引き法を紹介します.参考資料は
  Rao and Yip, 安田 藤原 訳,画像符号化技術―DCTとその国際標準
  http://www.amazon.co.jp/%E7%94%BB%E5%83%8F%E7%AC%A6%E5%8F%B7%E5%8C%96%E6%8A%80%E8%A1%93%E2%80%95DCT%E3%81%A8%E3%81%9D%E3%81%AE%E5%9B%BD%E9%9A%9B%E6%A8%99%E6%BA%96-K-R-Rao/dp/4274034011
の 4.4節(上図は図4.5)です.これまでと同様に(両側)z変換で考えてみましょう.

※ z変換で考えてもあまり分かり易くなりませんでした --- どうして G(z),H(z) を思いついたのか(esp.間引き後の後処理の見通し)推測できていません.以下は単なる備忘録です.

    X(z) = X0(z2) + z-1 X1(z2)

に対して

    G(z) = X0(z2) + z-2 X1(z2)
    H(z) = z-1 X0(z2) + z-1 X1(z2)

を考えると,G(z), z H(z) は z2 の関数になり,標本化周期を2倍にできます.

    {X0(z2) + z-1 X1(z2)}(1 + z-1) = X(z) (1 + z-1) = H(z) + G(z)

であり,x(n) の DCT-Ⅱ は z X(z-2) + z-1 X(z2) で考えるので

    z X(z-2) + z-1 X(z2) = z {H(z2) + G(z2)}

を時間間引きした DCT で計算できます.X(Wm),X(WN+m) を G(W2m),H(W2m) の線形結合で求める計算は面倒ですが,線形結合の係数部分に現れる Wm は m の2進表示を用いると log2 m 個の実数の積で表現できることから,変換行列が sparse だということは予想できそうです.

ジャンル:
学習
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