巡回符号 (3)

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[4-21] ガロア拡大体（α4 = α+1）

#42: 体の拡大

体を代数的に拡大する例は高校でも学んでいます．それは複素数の定義です．すなわち，実数を係数とする多項式 x² + 1 = 0 の解 i を加えたときにも実数と同じ四則演算ができると考えました．i² + 1 = 0 ですから i² を -1 で置換することによって任意の複素数は i の高々１次の式 x + i y で表現できます．

同じことを 2 で割った剰余 {0, 1} の体 GF(2) に対して 0，1 を係数とする n 次の原始多項式の解 α を加えた四則演算で表現できる数の集合として，GF(2) の拡大体 GF(2ⁿ) を作ります．n 次の原始多項式とは GF(2ⁿ) の 0 以外の元が α のべき乗で表現できる多項式で，i² = -1 のときと同様に α のべき乗は α の高々 n - 1 次の多項式で表現できます．

Web 上に多数の分かりやすい説明がありますので詳しくはそちら（例えば [4-21]）を参照してください．

[4-19] 体の拡大 - Wikipedia
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7
[4-20] 代数的拡大体と最小多項式 [物理のかぎしっぽ]
  http://hooktail.sub.jp/algebra/AlgebraicExtension/
  代数的拡大とは，あくまでも拡大の仕方に関する概念であって，そこに含まれる元が代数的であるかを規定する概念ではないのです．
[4-21] ガロア体講座
  http://chichiue.hahaue.com/gf.html
  既約であっても周期が最大になるとは限らない。周期が最大になる生成多項式を原始多項式 (primitive polynomial) という。
[4-22] 原始根 - aozoragakuen.sakura
  http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node36.html
  定理 28：素数 p を法として原始根が存在する．