小数第１位

今年の七夕は残念ながら雨だった。

さて、久しぶりに「教えて！数学」に面白い質問を見つけた。最近は質の低いのが多いんだよな。例の京大のカンニング事件以降のような気がする。あれはＹａｈｏｏ！知恵袋だけど。

問題：ｎを自然数とするとき、ｎ（ｎ＋１）の平方根の小数第１位は必ず４になることを証明せよ。

へぇーっ知らんかった。電卓を叩いてみると確かにそのとおり。

答え：ｘ＞０で考える。ｘ＝√ｘ^2＜√｛ｘ（Ｘ＋１）｝　
　　相乗平均≦相加平均より、√｛ｘ(ｘ＋１)｝≦｛ｘ＋(ｘ＋１)｝／２　
　　　（等号はｘ＝ｘ＋１のとき。つまりあり得ない）　・・・（Ａ）

　　以上から　ｘ＜√｛ｘ（ｘ＋１）｝＜ｘ＋０．５　・・・（Ｂ）
　　ｘを自然数ｎとすれば、√｛ｎ（ｎ＋１）｝の小数部は、（Ｂ）により　
　　　　　　　　　　√｛ｎ（ｎ＋１）｝－ｎ　　・・・（Ｃ）
　　となる。

　　ｎ＝１のとき 　√｛ｎ（ｎ＋１）｝－ｎ＝√２－１、
　　　　１．４^2＝１．９６　よって　√２－１＞１．４－１＝０．４　

　　また（Ｂ）より　０＜√｛ｘ（ｘ＋１）｝－ｘ＜０．５　
　　つまり小数部は０．５未満。

　　次に、√｛ｎ（ｎ＋１）｝－ｎが単調増加であることを示す。　
　　（Ｃ）をｎで微分すると、
　　　　（２ｎ＋１）／（２√｛ｎ（ｎ＋１）｝）－１　
　　　　　　　＝（２ｎ＋１－２√｛ｎ（ｎ＋１）｝）／（２√｛ｎ（ｎ＋１）｝）
　　　　　　　＝（相加平均－相乗平均）／√｛ｎ（ｎ＋１）｝≧０　
　　等号は相加平均＝相乗平均の場合。本問の場合、（Ａ）によりあり得ない。
　　導関数が常に正なので　√｛ｎ（ｎ＋１）｝－ｎ　は単調増加。

　　０．４より大きな値から始まり、ｎの増加と共に√｛ｎ（ｎ＋１）｝の小数部は増大を続けるが、どんなに大きくなっても０．５未満。つまり小数第１位は必ず４。