相似を証明

少し前に「教えて！」にあった問題。

下図において△ＡＢＣ，△ＡＣＤは正三角形とする。辺ＤＣ上に点Ｆをとり、ＢＦとＡＤの交点をＥとする。このとき、△ＡＣＥ∽△ＣＦＡを証明せよ。

∠ＥＡＣ＝∠ＡＣＦ＝６０°だから、あと１角が等しいことを証明すればよい。だがこれが意外とむずかしい。ついに分からずにギブアップ。次が模範解答らしい。

（証明）ＡＣとＢＦの交点をＨとする。

∠ＥＡＨ＝∠ＢＣＨ（＝６０°）、∠ＡＨＥ＝∠ＣＨＢ（対頂角）ゆえ
△ＡＥＨ∽△ＣＢＨ　　よってＥＡ：ＢＣ＝ＡＨ：ＣＨ　・・・（１）


同様に、∠ＢＡＨ＝∠ＦＣＨ（＝６０°）、∠ＡＨＢ＝∠ＣＨＦ　ゆえ
△ＢＡＨ∽△ＦＣＨ　よって　ＡＢ：ＣＦ＝ＡＨ：ＣＨ　・・・（２）

（１）（２）より　　ＥＡ：ＢＣ＝ＡＢ：ＣＦ　・・・（３）

△ＡＢＣは正三角形だから　ＢＣ＝ＡＣ　・・・（４）
　ＡＢ＝ＡＣ　・・・（５）
　∠ＥＡＣ＝∠ＡＣＦ（＝６０°）　・・・（６）

（４）を（３）の左辺、（５）を（３）の右辺に代入すると
　　ＥＡ：ＡＣ＝ＡＣ：ＣＦ　・・・（７）

（６）（７）より２辺の比とそれらの挟角が等しいので、
△ＥＡＣ∽△ＡＣＦ　（証明おわり）

まさか２辺挟角を使うとは思わなかった。