数式の問題（７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、不等式の問題です。

問題は、
「任意の実数 ｘ，ｙ＞１ について、
　
が成り立つことを示せ。」
です。

ｘ、ｙのままで扱ってもＯＫですが、ここでは、
ａ＝ｘ－１　　　
ｂ＝ｙ－１　　　（★）
とおきます。

すると、
ａ＞０
ｂ＞０
です。

（★）を与えられた不等式の左辺に代入すると、

になります。

ここから、相加相乗平均の不等式を３回使って、一気に変形していくと、

です。
（途中の式で、

なので、相加相乗平均の不等式を利用することができます）

このとき、最後の不等式の等号は、

のとき、つまり、
ａ，ｂ＞０
から
ａ＝ｂ＝１
のときに成立します。

また、最初の不等式の等号は、

のとき成立しますが、これは ａ＝ｂ＝１ のとき成り立ちます。

以上から、与えられた不等式

（等式は、ｘ＝ｙ＝２ のとき成立）
が成り立つことを示すことができました。


簡単な問題です。