重心の求め方

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

暖かい日が続きます。来週の半ばに少し崩れるようですが、ＧＷ中は概ね良い天気になりそうです。今日も中３生の英語の補習授業です。

昨晩ファインマン物理学を読んでいたら巻末の演習問題に重心を求める問題がありました。図１のように、直径２０ｃｍの円板に直径１０ｃｍの円形の穴を作ったとき、その重心の位置を求める問題です。

▲図１.重心の問題

図２のようにｘｙ座標を定めて、ｘ軸上のＧを通りｙ軸に平行な直線で左右の重さのバランスが取れるとすればＧが重心になるのですが、これを計算で求めるのは大変です。

▲図２．重心の問題２

そこで、２質点の重心公式
Ｘｇ＝（ｍ1Ｘ1＋ｍ2Ｘ2）/（ｍ1＋ｍ2）
を使うのですが、このとき、穴の部分の質量を負とするのがポイントです。

円板の面密度をρとして計算すると、
ｍ1＝１００πρ
ｍ2＝２５πρ
Ｘ1＝０ｃｍ
Ｘ2＝－５ｃｍ
より、
Ｘｇ＝－（２５πρ×（－５））/（（１００－２５）πρ）
　　＝１２５/７５＝１．６７ｃｍ
となります。

次に、この問題を一般化して、図３のように半径ａの円板から半径ｂ（２ｂ＜ａ）の円形の穴を開けた場合を考えます。このとき穴の中心の座標を（ｘ2，０）とします。

▲図３．重心の問題の一般化

そこで、
ｍ1＝πρａ＾2　　　（Ａ＾2は、Ａの２乗を表します）
ｍ2＝πρｂ＾2
Ｘ1＝０
を２質点の重心公式に代入し、
Ｘｇ＝－（πρｂ＾2Ｘ2）/（πρ（ａ＾2－ｂ＾2））
　　＝－ｂ＾2Ｘ2/（ａ＾2－ｂ＾2）
となります。

この式から判ることは、ＸｇがＯ（円板の重心）と一致するのは、ｂ＝０またはＸ2＝０のときで、ｂ＝０は穴がないとき、Ｘ2＝０は穴の中心がＯに一致するときで、つまり、ドーナツ型の図形になるときです。（当たり前ですね）

また、ｂがａに近づくと分母が０に近づき、Ｘｇが発散してしまいますが、これは、ｂ＝ａでは円板自体がなくなり問題の意味がなくなってしまうことに対応します。