日本数学オリンピックの簡単な問題（１３８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年日本数学オリンピック予選に出題された面積問題を取り上げます。

問題は、
「四角形ＡＢＣＤが、∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°、∠Ｃ＝４５°、ＡＣ＝１９、ＢＤ＝１５をみたすとき、その面積を求めよ。ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」

▲問題図

です。

早速、取り掛かりましょう。

下の図のように、ＤからＢＣに垂線を下ろし、その足をＨとすると、△ＨＣＤは直角二等辺三角形になります。

▲図．ＤからＢＣに垂線を下ろし、その足をＨとしました

そこで、ＡＤ＝ａ、ＡＢ＝ｈ とすると、ＢＨ＝ａ、ＤＨ＝ＣＨ＝ｈ ですから、台形ＡＢＣＤの面積Ｓは、

になります。

一方、△ＡＢＣと△ＡＢＤに三平方の定理を適用すると、それぞれ、

が成り立ちます。

ここで、（２）と（３）の辺々を引き算すると、

です。

これを（１）に代入すると、
Ｓ＝１３６/２
　＝６８
で、これが答えです。


簡単な問題です。