ジュニア数学オリンピックの難しい問題（１２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

連日、冬晴れのいい天気が続き、明日の元日も快晴で、気温も今日より上がって少し暖かくなるようです。とは言え、十分に寒いですから、特に受験生の皆さんは暖かくして勉強してください。

さて、今回は２０１６年ジュニア数学オリンピック本選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「鋭角三角形ＡＢＣにおいて、Ａから辺ＢＣ、Ｂから辺ＣＡ、Ｃから辺ＡＢにおろした垂線の足をそれぞれＤ、Ｅ、Ｆとし、直線ＡＤと直線ＥＦの交点をＧとする。また、三角形ＤＦＧの外接円と辺ＡＢの交点のうちＦでない方をＰ、三角形ＤＥＧの外接円と辺ＡＣの交点のうちＥでない方をＱとする。このとき、直線ＰＱは線分ＤＧの中点を通ることを示せ。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

図１を眺めてピンとくるのが、△ＤＥＦは△ＡＢＣの垂足三角形で、△ＡＢＣの垂心は△ＤＥＦの内心と一致するということです。

つまり、
∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＥ
∠ＢＥＤ＝∠ＢＥＦ
∠ＣＦＥ＝∠ＣＦＤ　　　　（★）
です。

ここで、（★）が成り立つことを確認しておきましょう。

図２のように、△ＡＢＣの垂心をＨとすると、
∠ＡＦＨ＝∠ＡＥＨ＝∠ＢＤＨ＝∠ＢＦＨ＝∠ＣＥＨ＝∠ＣＤＨ＝９０°
から、四角形ＡＦＨＥ、四角形ＢＤＨＦ、四角形ＣＥＨＤはそれぞれ円に内接します。

▲図２．四角形ＡＦＨＥ、四角形ＢＤＨＦ、四角形ＣＥＨＤはそれぞれ円に内接します

すると、同じ弧の円周角が等しいことから
∠ＢＤＦ＝∠ＢＨＦ
∠ＣＤＥ＝∠ＣＨＥ
で、さらに対頂角が等しいことから
∠ＢＨＦ＝∠ＣＨＥ
で、これらから、
∠ＢＤＦ＝∠ＣＤＥ
です。

ここで、
∠ＨＤＢ＝∠ＨＤＣ＝９０°
ですから
∠ＨＤＦ＝∠ＨＤＢ－∠ＢＤＦ
　　　　　＝９０°－∠ＢＤＦ
　　　　　＝９０°－∠ＣＤＥ
　　　　　＝∠ＨＤＣ－∠ＣＤＥ
　　　　　＝∠ＨＤＥ
になることが判ります。

∠ＨＥＤ＝∠ＨＥＦ、∠ＨＦＥ＝∠ＨＦＤも同様なので、Ｈは△ＤＥＦの内心になります。

それでは本題に戻りましょう。

まず、図３のように、△ＤＦＧと△ＤＥＧの外接円の中心をそれぞれＯ1 とＯ2 とし、直線ＤＧと直線Ｏ1Ｏ2 の交点をＭとします。

▲図３．△ＤＦＧと△ＤＥＧの外接円の中心をそれぞれＯ1 とＯ2 としました

このとき、Ｏ1 とＯ2 はそれぞれ△ＤＦＧと△ＤＥＧの外心なので、Ｏ1 とＯ2 は辺ＤＧの垂直二等分線上にあります。（つまり、Ｍは線分ＤＧの中点になります）

一方、円Ｏ2 とＢＥの交点でＥでない方の点をＸ、円Ｏ1 とＣＦの交点でＦでない方の点をＹとすると、
∠ＤＥＸ＝∠ＧＥＸ
∠ＤＦＹ＝∠ＧＦＹ
なので、
弧ＤＸ＝弧ＧＸ
弧ＤＹ＝弧ＧＹ
が成り立ちます。

したがって、直線ＸＹは線分ＤＧの垂直二等分線で、直線ＸＹは直線Ｏ1Ｏ2 と一致します。

ここで、円Ｏ1 に注目すると、図４に示すように、Ｐは円Ｏ1 と辺ＡＢとのＦでない方の交点で、∠ＰＦＹ＝９０°なので、線分ＰＹは円Ｏ1 の直径になります。

したがって、Ｐは直線Ｏ1Ｙ、つまり、直線Ｏ1Ｏ2 上にあります。

▲図４．Ｐ、Ｑは直線ＸＹ（直線Ｏ1Ｏ2）上にあります

また、円Ｏ2 に注目すると、Ｑは円Ｏ2 と辺ＡＣとのＥでない方の交点で、∠ＱＥＸ＝９０°なので、線分ＱＸは円Ｏ2 の直径になります。

したがって、Ｑは直線Ｏ2Ｘ、つまり、直線Ｏ1Ｏ2 上にあります。

以上から、Ｐ、Ｑは直線Ｏ1Ｏ2 上の点で、直線Ｏ1Ｏ2 は線分ＤＧの垂直二等分線なので、直線ＰＱは線分ＤＧの中点を通ることが判りました。


△ＡＢＣの垂心が、垂足三角形ＤＥＦの内心になることを知っていれば見通しのよい問題です。

最後になりましたが、今年一年、本ブログに目を通して頂き、ありがとうございました。良い年をお迎えください。来年もよろしくお願い致します。