カード並び替え問題［麻布中］（つづき）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、先日取り上げた２００７年の麻布中入試のカードの並び替え問題の（２）を取り上げます。

問題は、
「１８枚のカードが積み重ねられていて、上から順に１から１８の整数が記入してあります。このカードの束に対して次の２つの操作を組み合わせて何回か行います。

［操作①］カードの束を２等分して、上下の位置を入れかえる。

［操作②］カードの束を３等分して、上中下の位置を入れかえる。

例では、上中下を中上下のように入れかえていますが、どのように入れかえてもよいものとします。次の各問に答えなさい。

（１）略

（２）３６０枚のカードが積み重ねられていて、上から順に１から３６０の整数が記入してあります。今度は、このカードの束に対して、操作①、操作②および次の操作③を組み合わせて何回か行いました。

［操作③］カードの束を５等分して、５つの束の位置を入れ替える。

すると、上から４０番目と８０番目のカードはともに１３の倍数で、４０番目のカードの方が８０番目のカードより大きい数になりました。このとき、それぞれのカードの数字を求めなさい。」
です。

３６０枚のカードに対して、操作①、操作②および操作③によるカードの数が連続する枚数は、
操作①：３６０÷２＝１８０（枚）
操作②：３６０÷３＝１２０（枚）
操作③：３６０÷５＝７２（枚）
です。

つまり、これらの１８０、１２０と７２の最大公約数が１２であることから、操作①、操作②および操作⑤を何回か行った後に、カードの数が必ず連続する枚数は、１２枚になります。

さらに、１２枚のカードの数を１２で割ったときの余りは、カードの束の上から順に、１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、０ になります。

一方、４０番目と８０番目のカードの数は、１３の倍数であり、かつ、
４０÷１２＝３・・・４
８０÷１２＝６・・・８
から、
４０番目：１２で割ったときの余りが４
８０番目：１２で割ったときの余りが８
です。

下表にこれらの条件をまとめると、

▲表．１から３６０までの１３の倍数について、１２で割った余りをまとめました

になります。

この表と、４０番目のカードの方が８０番目のカードより大きい数になることから、
４０番目のカードの数字は ２０８、８０番目のカードの数字は １０４　で、これが答えです。


各操作を組み合わせて何回か繰り返した後、カードの数が連続する枚数が１２枚になることに気が付けば簡単な問題です。