約数の個数と和と積

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、自然数の約数の個数と和と積についてです。

ここでは自然数を１２として調べていきましょう。

１２の約数は、１、２、３、４、６、１２で、その個数は６個、約数の和と積はそれぞれ２８と１７２８です。

初めに、

と素因数分解して、それぞれの素因数について、その指数を０まで減じたものの和、つまり、


の積Ｓをつくると、

になります。

ここでＳを展開すると、

となり、Ｓは１２の約数の和になっていることが判ります。

また、Ｓを展開して現われた項は１２の約数なので、この項数が約数の個数になります。

つまり、１２を素因数分解したときの２と３の指数に１を加えたものがそれぞれの項数になり、それらの積

が全ての項数で、これが約数の個数になります。

最後に、約数の積Ｐをつくり、これを変形すると、

となり、Ｐは１２の約数の個数の１/２乗になることが判ります。

以上の約数の個数と和と積の関係はすべての自然数で成り立ちますが、このように具体例を記憶に留めておくとよいでしょう。