ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（４６）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

蒸し暑い日が続き、昨夜も寝苦しかったのですが、今朝、女子レスリングで３個も金メダルを獲ったので、蒸し暑さも吹き飛んでしまいました。日本人選手が大活躍して楽しいオリンピックです。間もなく閉幕ですが、寝不足に気をつけて一生懸命応援します。

さて、今回は２００４年ジュニア数学オリンピックに出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「ＢＣ＝３、ＣＡ＝２、ＡＢ＝４であるような三角形ＡＢＣがある。辺ＡＢ上に２点Ｄ、Ｅをとり、ＡＤ＝１、∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥとなるようにする。線分ＢＥの長さを求めよ。」
です。

初めに、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

△ＢＣＤが二等辺三角形になるのが目につきますが、ここは∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥに着目して、三角形の面積比を利用するのが簡単そうです。

例えば、図２のように、∠Ｐ＝∠Ｓである△ＰＱＲと△ＳＴＵを考えます。

▲図２．１つの角の角度が等しい三角形の面積比は、その角を成す２辺の積の比になります

△ＰＱＲの∠Ｐを成す２辺の長さをＰＱ＝ａ、ＰＲ＝ｂとし、△ＳＴＵの∠Ｓを成す２辺の長さをＳＴ＝ｃ、ＳＵ＝ｄとします。

さらに、Ｒから辺ＰＱに垂線を下ろし、その足をＭ、Ｕから辺ＳＴに垂線を下ろし、その足をＮとすると、△ＰＲＭ∞△ＳＵＮになり、ＰＲ：ＲＭ＝ＳＵ：ＵＮが成り立ちます。

ここで、ＲＭ＝ｈとすると、ＵＮ＝ｄｈ/ｂで、（△ＰＱＲの面積）＝ａｈ/２、（△ＳＴＵの面積）＝ｃｄｈ/２ｂから、
（△ＰＱＲの面積）：（△ＳＴＵの面積）＝ａｈ/２：ｃｄｈ/２ｂ＝ａｂ：ｃｄ
が成り立ち、２つの三角形の面積比は、等しい角を成す２辺の積の比になります。

そこで改めて図１を調べてみると、図３と図４に示すように、１つの角の角度が等しい三角形の組が、△ＣＡＤと△ＣＢＥ、△ＣＡＥと△ＣＢＤの２組あることが判ります。

▲図３．△ＣＡＤと△ＣＢＥで、∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥです

▲図４．△ＣＡＥと△ＣＢＤで、∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＤです

そこで図５のように、ＣＤ＝ｐ、ＣＥ＝ｑ、ＢＥ＝ｘとおいて、立式しましょう。

▲図５．ＣＤ＝ｐ、ＣＥ＝ｑ、ＢＥ＝ｘとおきました

まず、△ＣＡＤと△ＣＢＥの２辺の積の比と面積比から
ＣＡ・ＣＤ：ＣＢ・ＣＥ＝ＡＤ：ＢＥ
で、
２ｐ：３ｑ＝１：ｘ
２ｐｘ＝３ｑ
ｑ/ｐ＝２ｘ/３　　　　　　　　　　　　　（１）
です。

次に、△ＣＡＥと△ＣＢＤの２辺の積の比と面積比から
ＣＡ・ＣＥ：ＣＢ・ＣＤ＝ＡＥ：ＢＤ
で、
２ｑ：３ｐ＝４－ｘ：３
３ｐ（４－ｘ）＝６ｑ　　　　　　　　　
ｑ/ｐ＝（４－ｘ）/２　　　　　　　　　　（２）
です。

（１）と（２）から
２ｘ/３＝（４－ｘ）/２
で、これを解いて、
ｘ＝１２/７
です。

したがって、線分ＢＥの長さは１２/７で、これが答えです。


高校で三角関数を勉強すれば明解なことですが、１つの角の角度が等しい三角形の面積比が、その角を成す２辺の積の比に等しくなることを頭に入れておくとよいでしょう。