ジュニア数学オリンピックの簡単な問題（６８）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

東久留米の気温は２５℃と低めなのですが、湿度が９０％近くで、蒸し暑く感じます。明日、明後日は気温が上がるようで、不快な週末になりそうです。

さて、今回は２０１４年ジュニア数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「５００以下の正の整数ｎについて、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人が以下のように話している：
　
　Ａ「ｎは２でちょうど３回だけ割り切れる。」
　Ｂ「ｎは３でちょうど２回だけ割り切れる。」
　Ｃ「ｎは７でちょうど１回だけ割り切れる。」
　Ｄ「ｎの各桁の数字の和は１５だ。」

このうち３人の発言は正しいが、残りの１人の発言は誤りである。このときｎを求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

Ａ、Ｂ、Ｃの発言から、ｎは少なくともそれぞれ８の倍数、９の倍数、７の倍数になります。

このとき、８、９、７は互いに素ですから、もし、Ａ、Ｂ、Ｃの発言が正しいとすると、ｎは８×９×７＝５０４の倍数になり、ｎが５００以下という条件に反します。

つまり、Ａ、Ｂ、Ｃの誰かの発言が誤っていて、したがって、Ｄの発言は正しいことになります。

そこで、Ｄの発言を調べてみましょう。

もし、ｎが９の倍数であれば、ｎの各桁の数字の和は９の倍数になります。ところが、Ｄはそれが１５と言っているので、ｎは９の倍数ではありません。

したがって、４人のうち誤りの発言をしたのは、Ｂになります。

あとは、
（Ａ）２で３回だけ割り切れる
（Ｃ）７で１回だけ割り切れる
（Ｄ）各桁の数字の和が１５　→　３の倍数
（＊）５００以下
の条件を満たすｎを見つけるだけです。

（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）から
ｎ＝８×７×３ｍ
　＝１６８ｍ
になり、（４）から
ｍ＝１、２
です。

ところが、ｍ＝２のとき、ｎは２で４回割り切れてしまい（Ａ）に反するので、ｍ＝１になります。

つまり、
ｎ＝１６８
で、この各桁の数字の和は１＋６＋８＝１５と、（３）を満たします。

したがって、ｎは１６８で、これが答えです。


楽しい問題でした。