日本数学オリンピックの難しい問題（７）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

暖かく過ごしやすい天気になりました。朝、教室に向かう途中、青空に巨大な飛行機雲が見られたので、ＩＰＡＤで撮ろうとしたのですが、残念ながらバッテリーが上がっていて叶いませんでした。日頃から準備をしておくことが肝要ですね。

さて、今回は２０１０年日本数学オリンピック本選に出題された絶対不等式の問題を取り上げます。

問題は、
「正の実数ｘ、ｙ、ｚに対し、

が成り立つことを示せ。」
です。

前回に続いて、絶対不等式の問題ですが、今回はコーシー・シュワルツの不等式を利用します。

コーシー・シュワルツの不等式は、
　　（１）
（等号は、

のとき成り立ちます）

そこで、（１）に、


を代入すると、

が成り立ち、２行目の前の（　）内を通分して、

を得ます。

そして、これを変形して、
　（２）
になります。

同様に、
　（３）
　（４）
なので、（２）（３）（４）の辺々を足し合わせると

になり、与えられた不等式成り立つことを示すことができました。


絶対不等式の問題は上手く決まると楽しいです。興味のある人は問題を探して試してみてください。