こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
教室の掃除をすると汗ばむほど暖かく良い天気になりました。ところが天気図を見ると、西から前線を伴う低気圧が近づいていて、明日からしばらくぱっとしない天気が続くようです。
さて、今回は平成２２年度京大入試問題（前期、理系）です。
問題は、
「ｘを正の実数とする。座標平面上の３点Ａ（０，１）、Ｂ（０，２）、Ｐ（ｘ，ｘ）をとり、△ＡＰＢを考える。ｘの値が変化するとき、∠ＡＰＢの最大値を求めよ。」
です。
三角関数の余弦定理を使えば簡単に解けそうですが（実際にやってみると結構煩雑です。後半で紹介します）、これは高校で勉強するので、図形を利用して解いてみましょう。
まず図１のように、問題を図に表します。
▲図１．問題を図に表しました
問題は、点Ｐがｙ＝ｘ（ｘ＞０）上を動くとき、θの最大値はいくつかということです。
そこで図２のように、線分ＡＢを弦とし、その円周がｙ＝ｘと交点を持つ円を描き、交点の一つをＰとします。
▲図２．線分ＡＢを弦とする円を描きました
このとき、直線ｙ＝ｘの点Ａ、Ｂと反対側の円周上に点Ｑをとることができ、∠ＡＰＢと∠ＡＱＢは弧ＡＢに対しての円周角なので、∠ＡＰＢ＝∠ＡＱＢです。
次に、点Ａと点Ｑを結んだ直線と直線ｙ＝ｘとの交点をＰ’とすると、∠ＡＰ’Ｂ＞∠ＡＱＢ（∠ＡＰ’Ｂ＝∠ＡＱＢ＋∠Ｐ’ＢＱ）で、∠ＡＰ’Ｂ＞∠ＡＰＢになります。
つまり、線分ＡＢを弦とする円の弧が、直線ｙ＝ｘの点Ａ、Ｂと反対側にあるとき、∠ＡＱＢ＝∠ＡＰＢとなる点Ｑをとることができ、そのとき、∠ＡＰ’Ｂ＞∠ＡＰＢなので、∠ＡＰＢは最大ではありません。∠ＡＰＢが最大になるのは、点Ｑを取れないときで、それは円が直線ｙ＝ｘに接するときになり、このとき接点がＰになります。
▲図３．線分ＡＢを弦とする円と直線ｙ＝ｘの接点がＰのとき、∠ＡＰＢは最大になります
このとき、直線ＢＰは、傾き－１、切片２の直線で、それはｙ＝－ｘ＋２です。これとｙ＝ｘの交点Ｐは、（１，１）になります。
したがって、△ＡＢＰは、∠ＢＡＰ＝９０°の直角二等辺三角形になり、∠ＡＰＢの最大値は４５°＝π/４で、これが答えです。
続いて、三角関数を利用して解いてみましょう。
図４の△ＡＢＰで、∠ＡＰＢ＝θとします。
▲図４．三角関数を利用します
まず初めに、θの範囲を調べましょう。
点Ｐが直線ｙ＝ｘ上を原点に近づいていくと、θは０に近づきます。
また、図５のように線分ＡＢを直径とする円を考えたとき、この円周上の点をＱとすると、∠ＡＱＢ＝９０°で、さらに、この円周と直線ｙ＝ｘは交点を持たないので、θ＜∠ＡＱＢ＝９０°です。
▲図５．θ＜９０°です
以上から、０＜θ＜９０°になります。
次に余弦定理を使って、ｃｏｓθを表すと、
ｃｏｓθ＝（ＰＡ^2＋ＰＢ^2－ＡＢ^2）/（２ＰＡ・ＰＢ）
です。
これに
ＰＡ＝√（ｘ^2＋（ｘ－１）^2）
ＰＢ＝√（ｘ^2＋（ｘ－２）^2）
ＡＢ＝１
を代入すると、
ｃｏｓθ＝（（ｘ^2＋（ｘ－１）^2）＋（ｘ^2＋（ｘ－２）^2）－１）/２√（（ｘ^2＋（ｘ－１）^2）（ｘ^2＋（ｘ－２）^2）
＝（２ｘ^2－３ｘ＋２）/√（（２ｘ^2－２ｘ＋１）（２ｘ^2－４ｘ＋４））
＝√（（４ｘ^4－１２ｘ^3＋１７ｘ^2－１２ｘ＋４）/（４ｘ^4－１２ｘ^3＋１８ｘ^2－１２ｘ＋４））
です。
これを見ると大変複雑な式になってしまいましたが、ｔ＝ｘ＋１/ｘとすると、ｘ^2＋１/ｘ^2＝ｔ^2－２なので、
ｃｏｓθ＝√（（４ｔ^2－１２ｔ＋９）/（４ｔ^2－１２ｔ＋１０））
＝√（１－１/（４ｔ^2－１２ｔ＋１０））
と簡単な式にすることができます。
ここでちょっと、θとｃｏｓθの関係を調べておくと、０＜θ＜９０°でｃｏｓθは単調に減少するので、θが最大になるとき、ｃｏｓθは最小になります。これは、１－１/（４ｔ^2－１２ｔ＋１０）が最小になるとき、つまり、４ｔ^2－１２ｔ＋１０が最小になるとき、θは最大値となるということです。
次に、ｔの取り得る範囲を調べておくと、ｔ＝ｘ＋１/ｘなので、相加相乗平均の関係から、ｔ＝ｘ＋１/ｘ≧２√（ｘ・１/ｘ）＝２（等号はｘ＝１のとき成り立ちます）です。
以上から、ｔ≧２の範囲で、４ｔ^2－１２ｔ＋１０が最小になるとき、θは最大値となるということです。
そこで、
４ｔ^2－１２ｔ＋１０＝４（ｔ^2－３）＋１０
＝４（（ｔ－３/２）^2－９/４）＋１０
＝４（ｔ－３/２）^2＋１
と変形すると、ｔ≧２の範囲で４ｔ^2－１２ｔ＋１０が最小になるのは、ｔ＝２のときです。
このとき、
ｃｏｓθ＝√（１－１/（１６－２４＋１０））
＝√（１－１/２）
＝１/√２
なので、θ＝４５°＝π/４で、図形から導いた答えと一致しました。
三角関数は高校で勉強しますが、興味のある人は調べてみてください。
教室の掃除をすると汗ばむほど暖かく良い天気になりました。ところが天気図を見ると、西から前線を伴う低気圧が近づいていて、明日からしばらくぱっとしない天気が続くようです。
さて、今回は平成２２年度京大入試問題（前期、理系）です。
問題は、
「ｘを正の実数とする。座標平面上の３点Ａ（０，１）、Ｂ（０，２）、Ｐ（ｘ，ｘ）をとり、△ＡＰＢを考える。ｘの値が変化するとき、∠ＡＰＢの最大値を求めよ。」
です。
三角関数の余弦定理を使えば簡単に解けそうですが（実際にやってみると結構煩雑です。後半で紹介します）、これは高校で勉強するので、図形を利用して解いてみましょう。
まず図１のように、問題を図に表します。
▲図１．問題を図に表しました
問題は、点Ｐがｙ＝ｘ（ｘ＞０）上を動くとき、θの最大値はいくつかということです。
そこで図２のように、線分ＡＢを弦とし、その円周がｙ＝ｘと交点を持つ円を描き、交点の一つをＰとします。
▲図２．線分ＡＢを弦とする円を描きました
このとき、直線ｙ＝ｘの点Ａ、Ｂと反対側の円周上に点Ｑをとることができ、∠ＡＰＢと∠ＡＱＢは弧ＡＢに対しての円周角なので、∠ＡＰＢ＝∠ＡＱＢです。
次に、点Ａと点Ｑを結んだ直線と直線ｙ＝ｘとの交点をＰ’とすると、∠ＡＰ’Ｂ＞∠ＡＱＢ（∠ＡＰ’Ｂ＝∠ＡＱＢ＋∠Ｐ’ＢＱ）で、∠ＡＰ’Ｂ＞∠ＡＰＢになります。
つまり、線分ＡＢを弦とする円の弧が、直線ｙ＝ｘの点Ａ、Ｂと反対側にあるとき、∠ＡＱＢ＝∠ＡＰＢとなる点Ｑをとることができ、そのとき、∠ＡＰ’Ｂ＞∠ＡＰＢなので、∠ＡＰＢは最大ではありません。∠ＡＰＢが最大になるのは、点Ｑを取れないときで、それは円が直線ｙ＝ｘに接するときになり、このとき接点がＰになります。
▲図３．線分ＡＢを弦とする円と直線ｙ＝ｘの接点がＰのとき、∠ＡＰＢは最大になります
このとき、直線ＢＰは、傾き－１、切片２の直線で、それはｙ＝－ｘ＋２です。これとｙ＝ｘの交点Ｐは、（１，１）になります。
したがって、△ＡＢＰは、∠ＢＡＰ＝９０°の直角二等辺三角形になり、∠ＡＰＢの最大値は４５°＝π/４で、これが答えです。
続いて、三角関数を利用して解いてみましょう。
図４の△ＡＢＰで、∠ＡＰＢ＝θとします。
▲図４．三角関数を利用します
まず初めに、θの範囲を調べましょう。
点Ｐが直線ｙ＝ｘ上を原点に近づいていくと、θは０に近づきます。
また、図５のように線分ＡＢを直径とする円を考えたとき、この円周上の点をＱとすると、∠ＡＱＢ＝９０°で、さらに、この円周と直線ｙ＝ｘは交点を持たないので、θ＜∠ＡＱＢ＝９０°です。
▲図５．θ＜９０°です
以上から、０＜θ＜９０°になります。
次に余弦定理を使って、ｃｏｓθを表すと、
ｃｏｓθ＝（ＰＡ^2＋ＰＢ^2－ＡＢ^2）/（２ＰＡ・ＰＢ）
です。
これに
ＰＡ＝√（ｘ^2＋（ｘ－１）^2）
ＰＢ＝√（ｘ^2＋（ｘ－２）^2）
ＡＢ＝１
を代入すると、
ｃｏｓθ＝（（ｘ^2＋（ｘ－１）^2）＋（ｘ^2＋（ｘ－２）^2）－１）/２√（（ｘ^2＋（ｘ－１）^2）（ｘ^2＋（ｘ－２）^2）
＝（２ｘ^2－３ｘ＋２）/√（（２ｘ^2－２ｘ＋１）（２ｘ^2－４ｘ＋４））
＝√（（４ｘ^4－１２ｘ^3＋１７ｘ^2－１２ｘ＋４）/（４ｘ^4－１２ｘ^3＋１８ｘ^2－１２ｘ＋４））
です。
これを見ると大変複雑な式になってしまいましたが、ｔ＝ｘ＋１/ｘとすると、ｘ^2＋１/ｘ^2＝ｔ^2－２なので、
ｃｏｓθ＝√（（４ｔ^2－１２ｔ＋９）/（４ｔ^2－１２ｔ＋１０））
＝√（１－１/（４ｔ^2－１２ｔ＋１０））
と簡単な式にすることができます。
ここでちょっと、θとｃｏｓθの関係を調べておくと、０＜θ＜９０°でｃｏｓθは単調に減少するので、θが最大になるとき、ｃｏｓθは最小になります。これは、１－１/（４ｔ^2－１２ｔ＋１０）が最小になるとき、つまり、４ｔ^2－１２ｔ＋１０が最小になるとき、θは最大値となるということです。
次に、ｔの取り得る範囲を調べておくと、ｔ＝ｘ＋１/ｘなので、相加相乗平均の関係から、ｔ＝ｘ＋１/ｘ≧２√（ｘ・１/ｘ）＝２（等号はｘ＝１のとき成り立ちます）です。
以上から、ｔ≧２の範囲で、４ｔ^2－１２ｔ＋１０が最小になるとき、θは最大値となるということです。
そこで、
４ｔ^2－１２ｔ＋１０＝４（ｔ^2－３）＋１０
＝４（（ｔ－３/２）^2－９/４）＋１０
＝４（ｔ－３/２）^2＋１
と変形すると、ｔ≧２の範囲で４ｔ^2－１２ｔ＋１０が最小になるのは、ｔ＝２のときです。
このとき、
ｃｏｓθ＝√（１－１/（１６－２４＋１０））
＝√（１－１/２）
＝１/√２
なので、θ＝４５°＝π/４で、図形から導いた答えと一致しました。
三角関数は高校で勉強しますが、興味のある人は調べてみてください。
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