日本数学オリンピックの簡単な問題（６３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

天気予報は曇りですが、時々陽が射して明るくなります。明日明後日も曇りがちの天気になるようですが、雨は降らないようです。過ごしやすい週末になりそうです。

さて、今回は２０１５年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「平面上に５点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｐがあり、このうちＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄはこの順に同一直線上に並んでいる。また、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝６、ＰＢ＝５、ＰＣ＝７をみたしている。三角形ＰＡＣの外接円と三角形ＰＢＤの外接円の交点のうちＰでない方をＱとおくとき、線分ＰＱの長さを求めよ。
　ただし、ＸＹで線分ＸＹの長さを表すものとする。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

線分ＰＱの長さは、２つの円の半径とそれらの中心間の長さが判れば計算できます。

そこで、まず円の半径について調べてみましょう。

△ＰＢＣの３辺が与えられているので、Ｐから直線ＢＣに下ろした垂線の長さが計算でき、すると、三平方の定理を使って、線分ＰＡ、ＰＤの長さを求めることができます。

つまり、円に内接する△ＰＡＣ、△ＰＢＤの３辺の長さが判りますから、それらの外接円の半径を計算することができます。

次に、２つの円の中心間の長さですが、円の中心が線分ＡＣ、ＢＤの垂直二等分線上にあるので、これも三平方の定理を使って計算することができそうです。

それでは、この方針で進めていきましょう。

初めに、図２のように、Ｐから直線ＢＣに垂線を下ろし、その足をＨとします。

▲図２．Ｐから直線ＢＣに垂線を下ろし、その足をＨとしました

直角三角形ＰＢＨ、ＰＣＨに三平方の定理を適用すると、
ＰＢ^2＝ＢＨ^2＋ＰＨ^2
ＰＣ^2＝ＣＨ^2＋ＰＨ^2
が成り立ちます。

このとき、ＰＢ＝５、ＰＣ＝７、ＣＨ＝ＢＣ－ＢＨ＝６－ＢＨなので、
２５＝ＢＨ^2＋ＰＨ^2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）
４９＝（６－ＢＨ）^2＋ＰＨ^2
　　＝３６－２・ＢＨ＋ＢＨ^2＋ＰＨ^2　　　　　　　　　　　　　　（２）
で、（１）（２）から
ＢＨ＝１
です。

これを（１）に代入すると、
ＰＨ＝２√６
です。

次に、直角三角形ＰＡＨ、ＰＤＨに三平方の定理を適用すると、
ＰＡ^2＝ＡＨ^2＋ＰＨ^2
ＰＤ^2＝ＤＨ^2＋ＰＨ^2
が成り立ちます。

このとき、ＡＨ＝ＡＢ＋ＢＨ＝６＋１＝７、ＰＨ＝２√６、ＤＨ＝ＢＤ－ＢＨ＝１１なので、
ＰＡ^2＝４９＋２４＝７３
ＰＡ＝√７３
ＰＤ^2＝１２１＋２４＝１４５
ＰＤ＝√１４５
になります。

これで、△ＰＡＣ、△ＰＢＤの３辺の長さが判ったので、それらの外接円の半径を求めることができます。

まず、図３のように、△ＰＡＣから調べましょう。

▲図３．△ＰＡＣの外接円の半径を求めます

円の中心をＯ1とし、直線Ｏ1Ｃと円の交点でＣでない方をＥとすると、線分ＣＥは円の直径なので、∠ＣＰＥ＝９０°で、
∠ＰＨＡ＝∠ＣＰＥ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）
が成り立ちます。

さらに、弧ＰＣに対する円周角は等しいので、
∠ＰＡＣ＝∠ＰＥＣ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）
で、（３）（４）から△ＰＡＨ∽△ＣＥＰになります。

したがって、
ＣＥ：ＰＣ＝ＰＡ：ＰＨ
が成り立ち、ここに、ＰＣ＝７、ＰＡ＝√７３、ＰＨ＝２√６を代入すると、
ＣＥ＝ＰＣ・ＰＡ/ＰＨ＝７√７３/２√６
で、ＣＥは△ＰＡＣの外接円の直径なので、その半径は、７√７３/４√６になります。

そして図４に示すように、△ＰＢＤの外接円の半径も同じように求めることができ、それは、５√１４５/４√６です。

▲図４．△ＰＢＤの外接円の半径を求めます

ここまでで、２つの外接円の半径を求めることができました。

次に、２つの外接円の中心間の長さを計算しましょう。

図５のように、２つの外接円の中心Ｏ1、Ｏ2はそれぞれ線分ＡＣ、ＢＤの垂直二等分線上にあります。つまり、ＡＣ⊥ＢＯ1、ＢＤ⊥ＣＯ2です。

▲図５．線分Ｏ1Ｏ2の長さを求めます

そこで、直角三角形Ｏ1ＢＣとＯ2ＣＢに三平方の定理を適用すると、
Ｏ1Ｃ^2＝Ｏ1Ｂ^2＋ＢＣ^2
Ｏ2Ｂ^2＝Ｏ2Ｃ^2＋ＣＢ^2
が成り立ち、ここに、Ｏ1Ｃ＝７√７３/４√６、ＢＣ＝ＣＢ＝６、Ｏ2Ｂ＝５√１４５/４√６を代入して、Ｏ1Ｂ、Ｏ2Ｃを計算すると、
Ｏ1Ｂ＝１１/４√６
Ｏ2Ｃ＝１３/４√６
になります。

次に、Ｏ1を通り直線ＢＣに平行な直線と直線Ｏ2との交点をＧとすると、△Ｏ1Ｏ2Ｇは直角三角形です。

これに三平方の定理を適用すると、
Ｏ1Ｏ2^2＝Ｏ1Ｇ^2＋Ｏ2Ｇ^2
が成り立ち、ここに、Ｏ1Ｇ＝６、Ｏ2Ｇ＝Ｏ2Ｃ＋ＣＧ＝Ｏ2Ｃ＋ＢＯ1＝１３/４√６＋１１/４√６＝２４/４√６＝６/√６＝√６を代入すると、
Ｏ1Ｏ2^2＝３６＋６＝４２
Ｏ1Ｏ2＝√４２
になります。

これで、２つの外接円の中心間の長さが判りました。

いよいよ線分ＰＱの長さを計算します。

図６のように、線分ＰＱと線分Ｏ1Ｏ2との交点をＲとすると、ＰＱ⊥Ｏ1Ｏ2です。

▲図６．線分ＰＱの長さを求めます

そこで、直角三角形ＰＯ1Ｒと直角三角形ＰＯ2Ｒに三平方の定理を適用すると、
ＰＯ1^2＝ＰＲ^2＋Ｏ1Ｒ^2
ＰＯ2^2＝ＰＲ^2＋Ｏ2Ｒ^2
が成り立ちます。

ここに、ＰＯ1＝７√７３/４√６、ＰＯ2＝５√１４５/４√６、Ｏ2Ｒ＝Ｏ1Ｏ2－Ｏ1Ｒ＝√４２－Ｏ1Ｒを代入して、
３５７７/９６＝ＰＲ^2＋Ｏ1Ｒ^2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （５）
３６２５/９６＝ＰＲ^2＋４２－２√４２・Ｏ1Ｒ＋Ｏ1Ｒ^2　　　　　　（６）
で、（５）（６）から
３６２５/９６＝３５７７/９６＋４２－２√４２・Ｏ1Ｒ
Ｏ1Ｒ＝－４８/９６＋４２
　　 ＝８３/４√４２
です。

これを（５）に代入して、
ＰＲ^2＝３５７７/９６－（８３/４√４２）^2
　　 　＝３５７７/９６－６８８９/６７２
　　　 ＝（３５７７×７－６８８９）/６７２
　　　 ＝１８１５０/６７２
　　　 ＝（５×１１）^2/（２^4×７）
ＰＲ＝５５/４√７
　　 ＝５５√７/２８
になります。

最後に、ＰＱ＝２ＰＲから
ＰＱ＝５５√７/１４
で、これが答えです。


解答の筋道は簡単ですが、計算が煩雑な問題です。（簡潔な解法があるのかもしれません。ご存知の方はご教示ください）