日本数学オリンピックの簡単な問題（６４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日の天気予報では曇りでしたが、シベリア高気圧の東進が予想より早く、秋らしい雲がかかる晴れになりました。明日も晴れで過ごしやすい日になるようです。

さて、今回は２００１年日本数学オリンピック予選に出題された方程式の問題を取り上げます。

問題は、
「２つの方程式

　　　　（＊）

をともにみたす実数ｘをすべて求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

（＊）の６次方程式（下の方程式）を５次方程式（上の方程式）で割って、その商と余りを求めると、６次方程式は、
　　　　　（１）
と変形することができます。

ここで、（１）に（＊）を代入すると、
　　　　　（２）
が成り立ち、これを因数分解すると、
　　　　　（３）
になります。

（３）の右辺の２番目の２次式を０とする２次方程式の判別式は、

になるので、（２）の実数解は、

で、これが答えです。

念のため他に解がないか調べてみましょう。

（＊）を（２）で割って、その商と余りを求めると、それぞれ、
　　　　　（４）
　　　　　（５）
と表すことができます。

ここで、（４）の右辺の２番目の（　）内の式

を（５）の右辺の２番目の（）内の式

で割って、余りを求めると、

になります。

つまり、
　　　　　 （６）
のとき、
　　　　（７）
になり、（６）と（７）に共通の解がないこととが判ります。


整式の除法は高校で勉強します。興味のある人は調べてみてください。