日本数学オリンピックの簡単な問題（１０４）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

この時期なりの寒さですが、今日も快晴で風もなく過ごしやすい日になりました。湿度は４０％ほどで乾燥しているので、うがいをして風邪などひかぬよう気をつけましょう。

さて、今回は２００２年日本数学オリンピック予選に出題された立体図形の問題を取り上げます。

問題は、
「一辺の長さが１の正八面体の体積は、一辺の長さが１の正四面体の体積の何倍か。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

正八面体と正四面体の体積をそれぞれ計算してもＯＫですが、４つの正四面体を積み上げて一辺の長さが２の正四面体を考えるのが簡単です。

まず図１のような一辺の長さ１の正四面体を、図２のように、４つ積み上げて一辺の長さが２の正四面体を作ります。

▲図１、一辺の長さが１の正四面体です

▲図２．図１の正四面体を４つ積み上げて一辺の長さが２の正四面体を作りました

すると嬉しいことに、図２の中央部分の空間は、図３のように、一辺の長さが１の正八面体になります。（８つの面がすべて一辺の長さが１の正三角形になっています）

▲図３．中央部分は一辺の長さが１の正八面体です

そこで、一辺の長さが１の正四面体の体積をＶ、一辺の長さが１の正八面体の体積をＵとして上記の関係を立式しましょう。

図２の立体図形は一辺の長さが２の正四面体なので、その体積は８Ｖです。（一辺の長さが１と２の正四面体の相似比は２なので体積比は２^3＝８になります）

したがって、
８Ｖ＝４Ｖ＋Ｕ
が成り立ち、
Ｕ＝４Ｖ
から
Ｕ/Ｖ＝４
です。

以上から、一辺の長さが１の正八面体の体積は、一辺の長さが１の正四面体の体積の４倍で、これが答えです。


因みに、一辺の長さが１の正八面体の体積は√２/３、一辺の長さが１の正四面体の体積は√２/１２です。興味のある人は計算してみてください。