都立高校入試より少し難しい作図問題（３）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は作図の問題です。

問題は、
「下図の△ＡＢＣと等しい面積の正方形を作図しなさい。」

▲問題図

です。

図１のように、頂点Ａから辺ＢＣに垂線を下ろしその足をＨとし、辺ＢＣと線分ＡＨの長さをそれぞれ ａ と ｈ とします。

▲図１．ＢＣ＝ａ、ＡＨ＝ｈ としました

ここで、△ＡＢＣの面積Ｓは、
Ｓ＝ａｈ/２　　　　　（★）
になります。

続いて図２のように、辺ＢＣ上にＢＤ＝ｈ/２ となるような点Ｄをとり、辺ＢＣを直径とする円を描きます。（ここで、ａ＞２ｈ としました。 ａ＜２ｈ の場合は辺ＢＣと線分ＡＨを入れ替えればＯＫです）

▲図２．辺ＢＣ上に、ＢＤ＝ｈ/２ になるように点Ｄをとります

そして、点Ｄを通る辺ＢＣの垂線と、辺ＢＣを直径とする円の周との交点をＸとすると、∠ＢＤＸ＝∠ＢＸＣ＝９０°、∠ＤＢＸ＝∠ＸＢＣから
△ＢＤＸ∽△ＢＸＣ
です。

すると、
ＢＤ：ＢＸ＝ＢＸ：ＢＣ
が成り立ち、ここに、ＢＣ＝ａ、ＢＤ＝ｈ/２ を代入すると、

で、（★）から右辺は△ＡＢＣの面積になります。

したがって、△ＡＢＣと等しい面積の正方形の辺の長さは線分ＢＸの長さと等しくなり、図３のように、線分ＢＸを一辺とする正方形ＢＸＹＺが答えの一例になります。

▲図３．正方形ＢＸＹＺの面積が△ＡＢＣの面積と等しくなります

作図方法は他にもあるので、興味のある人は調べてみてください。